Putnam 2007/A3
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Putnam 2007/A3
Έστω θετικός ακέραιος .
Γράφουμε τους αριθμούς με μια τυχαία σειρά στον πίνακα. Ποια είναι η πιθανότητα σε κάθε φάση αυτής της διαδικασίας το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα να μην είναι πολλαπλάσιο του ;
Γράφουμε τους αριθμούς με μια τυχαία σειρά στον πίνακα. Ποια είναι η πιθανότητα σε κάθε φάση αυτής της διαδικασίας το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα να μην είναι πολλαπλάσιο του ;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Putnam 2007/A3
Παρατηρούμε ότι δεν έχει σημασία πού θα βάλουμε τα πολλαπλάσια του , αρκεί η διάταξη να μην αρχίζει με πολλαπλάσιο του . Αν αρχίζει με αριθμό ισότιμο με , τότε η διάταξη (), εκτός των μηδενικών, θα πρέπει να είναι , που είναι αδύνατον αφού έχουμε ισοτιμίες με και ισοτιμίες με .
Άρα η διάταξη εκτός των μηδενικών είναι . Υπάρχουν διατάξεις των και διατάξεις των . Στη συνέχεια, έχουμε επιλογές θέσης για το πρώτο , επιλογές για το δεύτερο , ... , επιλογές για το -οστό.
Έτσι, συνολικά η πιθανότητα (από διατάξεις) είναι .
Άρα η διάταξη εκτός των μηδενικών είναι . Υπάρχουν διατάξεις των και διατάξεις των . Στη συνέχεια, έχουμε επιλογές θέσης για το πρώτο , επιλογές για το δεύτερο , ... , επιλογές για το -οστό.
Έτσι, συνολικά η πιθανότητα (από διατάξεις) είναι .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Putnam 2007/A3
Την θεωρώ δύσκολη άσκηση. Αυτή η απλή παρατήρηση είναι και το κλειδί της λύσης.dement έγραψε:Παρατηρούμε ότι δεν έχει σημασία πού θα βάλουμε τα πολλαπλάσια του , αρκεί η διάταξη να μην αρχίζει με πολλαπλάσιο του .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες