Παραλληλόγραμμο από πιόνια

[Demetres]

Έστω ακέραιος . Να βρεθεί το ελάχιστο ώστε όπως και να τοποθετήσουμε πιόνια σε μια σκακιέρα, να υπάρχουν τα οποία να σχηματίζουν παραλληλόγραμμο.

Σημείωση: Εννοείται ότι κάθε πιόνι τοποθετείται ακριβώς στο κέντρο ενός από τα τετραγωνάκια της σκακιέρας.

[dement]

Θα αποδείξουμε ότι το ελάχιστο είναι .

Βλέπουμε ότι, αν τοποθετήσουμε πιόνια έτσι ώστε να καλύπτεται η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη, δεν σχηματίζεται παραλληλόγραμμο.

Έστω ότι τοποθετούμε πιόνια και έστω ο αριθμός των πιονιών της γραμμής .

Η απόσταση μεταξύ δύο πιονιών στην ίδια γραμμή παίρνει ακέραιες τιμές από ως . Στην γραμμή θα απαντώνται τουλάχιστον διαφορετικές αποστάσεις πιονιών (οι αποστάσεις του αριστερότερου πιονιού από όλα τα άλλα). Προσθέτοντας για όλες τις γραμμές έχουμε αποστάσεις.

Έτσι, κάποια απόσταση θα απαντηθεί σε τουλάχιστον δύο διαφορετικές γραμμές και κατά συνέπεια τα αντίστοιχα πιόνια σχηματίζουν παραλληλόγραμμο.

[Demetres]

Ωραία. Την πήρα από εδώ. Δεν έδωσα όμως ότι το ελάχιστο είναι το οπότε η άσκηση δυσκόλεψε.

[dement]

Ο σαδισμός της άσκησης είναι ότι μιλάει απλώς για "παραλληλόγραμμα". Έφτιαξα κάτι απίστευτα πράγματα προσπαθώντας να εφαρμόσω pigeonhole αποφεύγοντας τα εκφυλισμένα συνευθειακά "παραλληλόγραμμα" πριν περιοριστώ στα οριζόντια (ορμώμενος από τις απλές περιπτώσεις ).