Η τρίτη πρόοδος

hlkampel · #1

Δίνονται οι αριθμητικές πρόοδοι $1,\,5,\,9,...$ και $4,\,15,\,26,...$ .

Να δείξετε ότι οι κοινοί όροι των δύο αυτών προόδων σχηματίζουν μια νέα αριθμητική πρόοδο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

hlkampel έγραψε:Δίνονται οι αριθμητικές πρόοδοι $1,\,5,\,9,...$ και $4,\,15,\,26,...$ .

Να δείξετε ότι οι κοινοί όροι των δύο αυτών προόδων σχηματίζουν μια νέα αριθμητική πρόοδο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Από παλιό κυπριακό διαγωνισμό

Οι ακολουθίες αυτές γράφονται με συντομία:
$\displaystyle{a_n=1+4(n-1), \ \ n\in {N }\ \ (1)}$
$\displaystyle{b_m=4+11(m-1), \ \ m \in{N}\ \ (2)}$
Αναζητούμε τους κοινούς όρους. Άρα αναζητούμε τα $\displaystyle{n, m}$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{a_n=b_m \ \ (3)}$
Η εξίσωση (3) λόγω των (1) και (2) γίνεται:
$\displaystyle{4n-11m=-4, \ \ (4)}$
η οποία είναι μια διοφαντική εξίσωση πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους
που επειδή οι συντελεστές της είναι μεταξύ των πρώτοι και οι δύο
συντελεστές των αγνώστων της είναι κι αυτοί πρώτοι μεταξύ των, έχει
την προφανή λύση την
$\displaystyle{{n=-1, \ \ m=0}}$
και επομένως η γενική της λύση είναι:
$\displaystyle{{n=-1+11r, \ \ m=4r, \ \ r=1,2, 3, ...)}$
Επομένως οι όροι
$\displaystyle{a_n=a_{11r-1}=-7+44r, r=1,2,3,...}$ της πρώτης ακολουθίας
συμπίπτουν με τους όρους
$\displaystyle{b_m=b_{4r}=-7+44r,r=1,2,3,...}$ της δεύτερης ακολουθίας.
Από τους τελευταίους τύπους διαπιστώνεται ότι οι κοινοί αυτοί όροι είναι όροι μιας νέας
αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το $\displaystyle{37}$ που προκύπτει για την τιμή $\displaystyle{r=1}$ και
διαφορά ίση με $\displaystyle{\omega =44}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#3

hlkampel έγραψε:Δίνονται οι αριθμητικές πρόοδοι $1,\,5,\,9,...$ και $4,\,15,\,26,...$ .

Να δείξετε ότι οι κοινοί όροι των δύο αυτών προόδων σχηματίζουν μια νέα αριθμητική πρόοδο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Από παλιό κυπριακό διαγωνισμό

Οι δοθείσες αριθμητικές πρόοδοι είναι $\left\{ \begin{gathered} {a_n} = 4n - 3 \hfill \\ {b_n} = 11n - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^ * }$ αν έχουν κοινούς

όρους θα πρέπει να υπάρχουν φυσικοί k,l

με ${a_k} = {b_l} \Rightarrow 11l - 4k = 4$ που έχει μια

λύση : $\boxed{{l_0} = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{k_0} = 10}$ . Όλες οι λύσεις δίδονται από τις

$\left\{ \begin{gathered} k = 10 + 11t \hfill \\ l = 4 + 4t \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,t \in \mathbb{N}$ και άρα οι κοινοί όροι είναι $\boxed{{c_n} = 4(10 + 11n) - 3 = 37 + 44n}$

Που είναι αριθμητική πρόοδος με ${c_1} = 37$ και διαφορά w = 44

.

Φιλικά, Νίκος

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Νομίζω πως πάντα όταν δυο αριθμητικές πρόοδοι έχουν κοινούς όρους, τότε αυτοί θα ανήκουν σε αριθμητική πρόοδο

#5

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Νομίζω πως πάντα όταν δυο αριθμητικές πρόοδοι έχουν κοινούς όρους, τότε αυτοί θα ανήκουν σε αριθμητική πρόοδο

Διονύσιε, ναι, έχεις δίκιο.

Πράγματι έστω οι δύο αριθμητικές πρόοδοι:
$\displaystyle{a_n=a_1+l_1(n-1), n\in{N}, a_1, l_1\in{Z}}}$
$\displaystyle{b_m=b_1+l_2(m-1), m\in{N},b_1,l_2\in{Z}$
τότε, όπως και στο πρώτο μήνυμά μου, εξισώνοντας τους γενικούς όρους
έχουμε τη διοφαντική εξίσωση πρώτου βαθμού:
$\displaystyle{l_1n-l_2m=b_1-a_1+l_1-l_2 \ \ (1)}$

Αν η εξίσωση (1) έχει λύση, κι αυτό εξαρτάται από το άν
είναι οι τρείς συντελεστές αυτής πρώτοι μεταξύ των καθώς και
οι συντελεστές των αγνώστων $\displaystyle{n, m}$ πρώτοι μεταξύ των, τότε
η λύση της (1) θα είναι:
$\displaystyle{n=n_o+l_2r, r=1,2,3,...}$ και $\displaystyle{m=m_o+l_1r, r=1,2,3,...}$
όπου $\displaystyle{(n_o, m_o)}$ μια μερική λύση της (1).

Επομένως οι κοινοί όροι των ακολουθιών αυτών είναι αντίστοιχα:
$\displaystyle{a_n=(a_1+n_ol_1)+l_1l_2r, r=1,2,3,...}$
$\displaystyle{b_m=(b_1+m_ol_2)+l_1l_2r, r=1,2,3,..}$
που εύκολα δείχνεται ότι είναι αριθμητικές πρόδοι με διαφορά
τον αριθμό $\displaystyle{l=l_1l_2}$

Κώστας Δόρτσιος

#6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Νομίζω πως πάντα όταν δυο αριθμητικές πρόοδοι έχουν κοινούς όρους, τότε αυτοί θα ανήκουν σε αριθμητική πρόοδο

Σωστός!

hlkampel · #7

Ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση.
Η άσκηση είναι από τον επαρχιακό διαγωνισμό Λάρνακας-Αμμόχωστου του 1993 (;)

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Νομίζω πως πάντα όταν δυο αριθμητικές πρόοδοι έχουν κοινούς όρους, τότε αυτοί θα ανήκουν σε αριθμητική πρόοδο

για το γενικό με την προϋπόθεση (νομίζω) ότι οι κοινοί όροι είναι περισσότεροι από δύο.

dement · #8

hlkampel έγραψε:για το γενικό με την προϋπόθεση (νομίζω) ότι οι κοινοί όροι είναι περισσότεροι από δύο.

Αρκεί ένας. Αν υπάρχει ένας αριθμός με τις σωστές ισοτιμίες, τότε υπάρχουν άπειροι.
(Θεωρούμε πάντα πως οι αριθμητικές πρόοδοι αποτελούνται από ακεραίους και έχουν θετικό βήμα).

hlkampel · #9

dement έγραψε:
hlkampel έγραψε:για το γενικό με την προϋπόθεση (νομίζω) ότι οι κοινοί όροι είναι περισσότεροι από δύο.
Αρκεί ένας. Αν υπάρχει ένας αριθμός με τις σωστές ισοτιμίες, τότε υπάρχουν άπειροι.
(Θεωρούμε πάντα πως οι αριθμητικές πρόοδοι αποτελούνται από ακεραίους).

Καλησπέρα.
Αναφέρομαι σε προόδους της μορφής:

1,3,5,7,...

και

dement · #10

Το φαντάστηκα, έτσι έκανα την προσθήκη που βλέπεις.

#11

hlkampel έγραψε:
dement έγραψε:
hlkampel έγραψε:για το γενικό με την προϋπόθεση (νομίζω) ότι οι κοινοί όροι είναι περισσότεροι από δύο.
Αρκεί ένας. Αν υπάρχει ένας αριθμός με τις σωστές ισοτιμίες, τότε υπάρχουν άπειροι.
(Θεωρούμε πάντα πως οι αριθμητικές πρόοδοι αποτελούνται από ακεραίους).
Καλησπέρα.
Αναφέρομαι σε προόδους της μορφής:

και

Καλησπέρα.
Θα ήθελα στη συζήτηση αυτή να πω, εκτός από τα δύο μηνύματά μου, ακόμα και τούτο:
Στο δεύτερο μήνυμά μου έδειξα πότε δύο αριθμητικές πρόοδοι έχουν άπειρους κοινούς όρους
και μάλιστα στην περίπτωση αυτή οι κοινοί αυτοί όροι θα αποτελούν μια νέα αριθμητική πρόοδο
με διαφορά ίση με το γινόμενο των διαφορών των δύο αρχικών προόδων.

Η βασική βέβαια προϋπόθεσή μου ήταν ότι οι όροι των προόδων αυτών να είναι ακέραιοι
ή ακόμα ρητοί. Έτσι γενικά μπορούμε να πούμε:
"Αν δύο αριθμητικές πρόοδοι με ακεραίους όρους(ακόμα και ρητούς), έχουν ένα όρο κοινό, τότε θα έχουν
άπειρους κοινούς όρους και μάλιστα αυτοί θα αποτελούν μια νέα αριθμητική πρόοδο
με διαφορά ίση με το γινόμενο των διαφορών των δύο αρχικών"

Έτσι οι πρόοδοι:
$\displaystyle{ 1,3,5,7,9,11,...}$ και $\displaystyle{9,5,1,-3,-7,-11,...}$
δηλαδή οι
$\displaystyle{a_n=1+2(n-1), n=1,2,3,...}$ και $\displaystyle{b_m=9-4(m-1), m=1,2,3,...}$
σύμφωνα με τα ανωτέρω για να βρεθούν οι κοινοί όροι θα πρέπει να λύσουμε,
όπως και στα δύο μηνύματά μου, την εξίσωση:
$\displaystyle{a_n=b_m}$
η οποία καταλήγει στην ακόλουθη:
$\displaystyle{n+2m=7\ \ (1)}$
που είναι μια διοφαντική πρώτου βαθμού με δυο αγνώστους.

Αυτή προφανώς στο σύνολο $\displaystyle{Z}$ έχει άπειρες λύσεις που δίνονται από τον τύπο:
$\displaystyle{n=7-2m, m=1,2,3,...(2)}$
Επειδή όμως θέλουμε και $\displaystyle{n\geq 1}$ , προκύπτει ότι οι μόνες λύσεις της (2)
θα είναι οι τιμές $\displaystyle{m=1,2,3}$ και οι οποίες δίνουν τις $\displaystyle{n=5,3,1}$
Δηλαδή οι αριθμητικές αυτές πρόοδοι έχουν μόνον τρεiς κοινούς όρους τους:
$\displaystyle{ a_1=1, a_3=5, a_5=9}$ οι οποίοι αντιστοιχούν στους $\displaystyle{b_1=9, b_2=5, b_3=1}$
και οι οποίοι ως διαδοχικοί όροι της μιας(της δεύτερης προόδου) είναι όροι αριθμητικής προόδου, όπως φαίνεται
και στο ακόλουθο σχήμα:

: Τρίτη πρόοδος 1.PNG (11.11 KiB) Προβλήθηκε 2724 φορές

Ακόμα μπορούμε να πούμε ότι στην περίπτωση αυτή επειδή στην εξίσωση (1) ο συντελεστής του $\displaystyle{n}$ είναι η μονάδα
για το λόγο αυτό και η διαφορά της τρίτης προόδου είναι η διαφορά της δεύτερης.

Αν τώρα στο ερώτημά μας, δηλαδή στην εύρεση των κοινών όρων δύο αριθμητικών προόδων με όρους στο $\displaystyle{R-Q}$
τότε όλα τα ανωτέρω που στηρίζονται στη διοφαντική ανάλυση δεν έχουν λόγο και το πρόβλημα αποκτά κάθε φορά
την ιδιαιτερότητά του.

Κώστας Δόρτσιος

#12

Κώστα, τα θερμά μου χαιρετίσματα.

KDORTSI έγραψε:
Αν τώρα στο ερώτημά μας, δηλαδή στην εύρεση των κοινών όρων δύο αριθμητικών προόδων με όρους στο $\displaystyle{R-Q}$
τότε όλα τα ανωτέρω που στηρίζονται στη διοφαντική ανάλυση δεν έχουν λόγο και το πρόβλημα αποκτά κάθε φορά
την ιδιαιτερότητά του.

Ακριβώς. Αν θέλουμε ένα χειροποιαστό παράδειγμα είναι οι πρόοδοι $1+ n\sqrt 2, \, n \in \mathbb Z$ και $1+ m\sqrt 3, m\in \mathbb Z$ , οι οποίες έχουν μόνο ένα κοινό στοιχείο (το m=n=0

)

#13

Mihalis_Lambrou έγραψε:Κώστα, τα θερμά μου χαιρετίσματα.

KDORTSI έγραψε:
Αν τώρα στο ερώτημά μας, δηλαδή στην εύρεση των κοινών όρων δύο αριθμητικών προόδων με όρους στο $\displaystyle{R-Q}$
τότε όλα τα ανωτέρω που στηρίζονται στη διοφαντική ανάλυση δεν έχουν λόγο και το πρόβλημα αποκτά κάθε φορά
την ιδιαιτερότητά του.
Ακριβώς. Αν θέλουμε ένα χειροποιαστό παράδειγμα είναι οι πρόοδοι $1+ n\sqrt 2, \, n \in \mathbb Z$ και $1+ m\sqrt 3, m\in \mathbb Z$ , οι οποίες έχουν μόνο ένα κοινό στοιχείο (το )

Μιχάλη ευχαριστώ για τα χαιρετίσματα και για την προσοχή που έδειξες στα γραφόμενά μου,
εξάλλου η παρουσία σου στο χώρο αυτό είναι διαρκής και σπουδαία.
Σε χαιρετώ με θέρμη από τα Γρεβενά που τώρα σιγά -σιγά λιώνουν τα χιόνια κι ο Φλεβάρης
διαβαίνει στα μέσα του.
Να είσαι καλά, εκεί ψηλά στις ράχες του Ηρακλείου, στο εργαστήρι σου και πάντα να δημιουργείς.

Κώστας Δόρτσιος

Η τρίτη πρόοδος

Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Re: Η τρίτη πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση