Παραγοντοποίηση

KARKAR · #1

Βρείτε τον

, αν για κάποιους πραγματικούς

και

ισχύουν : $\left\{\begin{matrix} a+b & =k\\ a^2+b^2 & =5k\\ a^3+b^3 & =k^4+5k \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 18, 2019 9:44 pm Βρείτε τον , αν για κάποιους πραγματικούς και

ισχύουν : $\left\{\begin{matrix} a+b & =k \\ a^2+b^2 & =5k \\ a^3+b^3 & =k^4+5k \end{matrix}\right.$

Καλησπέρα...

Από τις δοθείσες και την ταυτότητα:

$\displaystyle{a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}$

προκύπτει:

$\displaystyle{k^4+5k=k(5k-ab)}$

Συνεπώς:

$\displaystyle{ab=5k-k^3-5 \ \ (1)}$

Όμοια από τις δοθείσες και από την ταυτότητα:

$\displaystyle{(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)}$

προκύπτει:

$\displaystyle{k^3=k^4+5k+3abk}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{ab=\frac{k^2-k^3-5}{3} \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη προκύπτει:

$\displaystyle{2k^3+k^2-15k+10=0 \ \ (3)}$

Η εξίσωση αυτή εύκολα λύνεται και δίνει:

$\displaystyle{k_o=2, \ \ k_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{65}}{4} }$

Κώστας Δόρτσιος

Christos.N · #3

Και η

και τώρα τις έχουμε όλες.

#4

Christos.N έγραψε: Πέμ Δεκ 19, 2019 1:39 am Και η και τώρα τις έχουμε όλες.

Χρήστο καλημέρα!
Έχεις δίκιο και ευχαριστώ για τη συμπλήρωση.
Εγώ στη βιασύνη μου δεν έλαβα υπόψη μου καθώς κατέληγα στις σχέσεις (1) και (2)
διαιρώντας τις αντίστοιχες προηγούμενες σχέσεις με το $\displaystyle{k}$ , δεν
διέκρινα την περίπτωση αυτή.

Ευχαριστώ ακόμα για το προσωπικό μήνυμα τον Θεδόσιο Φωτιάδη που
συμπληρώνει για την απόρριψη της αρνητικής ρίζας

$\displaystyle{k=\frac{-5-\sqrt{65}}{4}}$

καθόσον από τη δοθείσα $\displaystyle{a^2+b^2=5k}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{k\geq0}$ .

Τελικά οι τιμές του $\displaystyle{k}$ που ζητούνται είναι:

$\displaystyle{ k=0, \ \ k=2,\ \ k=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}}$

Κώστας Δόρτσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Για να το δούμε λίγο διαφορετικά.
Από $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
παίρνουμε
$ab=\frac{k(k-5)}{2}$ (1)
Από
$(a+b)(a^{2}+b^{2})=a^{3}+b^{3}+ab(a+b)$
και αντικαθιστώντας την (1)
παίρνουμε
$2k^{4}+k^{3}-15k^{2}+10k=0$
και μετά τις τιμές που βρίσκει ο Κώστας.

Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα.
Για τις τρεις τιμές του

που βρίσκουμε(την αρνητική εύκολα την απορρίπτουμε)
πως ξέρουμε ότι υπάρχουν τα a,b

;
Για να είναι πλήρης η λύση θα πρέπει να βρούμε και τα a,b

η έστω να αποδείξουμε
ότι υπάρχουν

#6

$\displaystyle \bullet$ Τα a, b

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle 2{x^2} - 2kx + {k^2} - 5k = 0$ με $\displaystyle \Delta = - 4k(k - 10) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le k \le 10$

Για τις τιμές λοιπόν του

που έχουν βρεθεί πιο πάνω, πάντα υπάρχουν οι αριθμοί a, b.

$\displaystyle \bullet$ Για να έχει βάλει ο Θανάσης τον τίτλο "Παραγοντοποίηση", μάλλον θέλει να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο

$\displaystyle P(k) = 2{k^4} + {k^3} - 15{k^2} + 10k = k(2{k^3} + {k^2} - 15k + 10)$ (χωρίς $\displaystyle {\rm{Horner}}$ αφού είμαστε σε φάκελο Α Λυκείου)

$\displaystyle P(k) = k\left( {2{k^3} - 8k + {k^2} - 7k + 10} \right) = k\left( {2k(k - 2)(k + 2) + (k - 2)(k - 5)} \right)$

$\displaystyle P(k) = k(k - 2)(2{k^2} + 5k - 5),$ κλπ.

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Μέλη σε σύνδεση