Ισορροπημένος μέσος

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12158
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισορροπημένος μέσος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 27, 2020 9:16 pm

Για : 0<a<b ορίζουμε ως : Ισορροπημένο Μέσο , τον αριθμό : IM=\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}

α) Βρείτε ( ως παράδειγμα ) τον Ισορροπημένο Μέσο των αριθμών 6,8

β) Δείξτε ότι ο IM είναι όντως μέσος , δηλαδή : a< IM < b

γ) Βρείτε τη θέση που ταιριάζει στον IM , στην κατάταξη : a<HM < GM < AM < TM< b .

Υπενθύμιση : HM αρμονικός μέσος , GM γεωμετρικός , AM αριθμητικός , TM τετραγωνικός .



Λέξεις Κλειδιά:
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 115
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ισορροπημένος μέσος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Νοέμ 27, 2020 10:22 pm

Α) IM=\dfrac{\sqrt {3\cdot 36+64}+\sqrt {3\cdot 64+ 36}}{4}=\dfrac{\sqrt {172}+\sqrt {228}}{4}=\dfrac{\sqrt {43}+\sqrt {59}}{2}
B) \dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}>\dfrac{\sqrt{4a^2}+\sqrt{4a^2} }{4}=a
Και ομοίως: \dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}<\dfrac{\sqrt{4b^2}+\sqrt{4b^2} }{4}<b
Γ) Είναι \dfrac{a+b}{2}<\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+8ab<4a^2+4b^2+2\sqrt{(3a^2+b^2)(3b^2+a^2)}

\Leftrightarrow 4ab<\sqrt{(3a^2+b^2)(3b^2+a^2)}\Leftrightarrow 16a^2b^2<3a^4+3b^4+10a^2b^2

\Leftrightarrow 3(a^2-b^2)^2>0 ισχύει
Ακόμη
\sqrt {\dfrac{a^2+b^2}{2}}>\dfrac{\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{3a^2+b^2}}{4}

\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2}>\dfrac{4(a^2+b^2)+2\sqrt{(3a^2+b^2)(3b^2+a^2)}}{16}

\Leftrightarrow 8(a^2+b^2)>4(a^2+b^2)+2\sqrt{3a^4+3b^4+10a^2b^2}\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)>\sqrt{3a^4+3b^4+10a^2b^2}
\Leftrightarrow 4a^4+8a^2b^2+4b^4<3a^4+10a^2b^2+3b^4
\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2>0 ισχύει
Έτσι a<HM < GM < AM < IM < TM< b


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης