Άρρητη εξίσωση

#1

Να λυθεί και διερευνηθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x^3 +1} +\sqrt{2x+a}=\sqrt{x+a-1}}$ , με $\displaystyle{a}$ πραγματικό αριθμό

User#0000 · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Απρ 25, 2021 8:05 pm Να λυθεί και διερευνηθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt{x^3 +1} +\sqrt{2x+a}=\sqrt{x+a-1}}$ , με $\displaystyle{a}$ πραγματικό αριθμό

Σύμφωνα με τους περιορισμούς πρέπει:

$x\geqslant -1\wedge x\geqslant -\frac{a}{2}\wedge x\geqslant 1-a$

Οι περιπτώσεις που θα προκύψουν είναι απ' τη σύγκριση του 1-a

με το $-\frac{a}{2}$

Αν $a\geqslant 2$ , τότε πρέπει $x\geqslant -1$
Η εξίσωση μετασχηματίζεται:
$0\leqslant (x+1)(x^2-x+2)=-2\sqrt{(x^3+1)(2x+a)}\leqslant 0\Leftrightarrow x=-1$

Αν a<2

, τότε πρέπει $x\geqslant 1-a>-1\Rightarrow x+1>0$
Η εξίσωση μετασχηματίζεται:
$0<(x+1)(x^2-x+2)=-2\sqrt{(x^3+1)(2x+a)}<0$ , αδύνατη. Αφού $x^2-x+2>0 , \forall x\in [1-a,+\infty)$ ,
διότι $\Delta =-7<0$ .

Συνοψίζοντας τα συμπεράσματα:
Αν $a\in [2,+\infty )$ , τότε η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση το x=-1

Αν $a\in (-\infty, 2)$ , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

#3

Kαλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στο ενδιαφέρον θέμα του Δημήτρη.

Για να έχει νόημα η εξίσωση πρέπει $\displaystyle x \ge - 1$

Επίσης, πρέπει $\displaystyle a \ge - 2x$ , οπότε για $\displaystyle a < 2$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Έστω ότι υπάρχει $x \ge -1$ που την επαληθεύει.

Τότε,

$\sqrt {{x^3} + 1} + \sqrt {2x + a} = \sqrt {x + a - 1} \Leftrightarrow \sqrt {{x^3} + 1} = \sqrt {x + a - 1} - \sqrt {2x + a}$

Το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, οπότε πρέπει

$\sqrt {x + a - 1} \ge \sqrt {2x + a} \Leftrightarrow x + a - 1 \ge 2x + a \Leftrightarrow x \le - 1$

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση x = -1

, με τη συνθήκη $a \ge 2$ .

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Απρ 25, 2021 9:31 pm Kαλησπέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στο ενδιαφέρον θέμα του Δημήτρη.

Για να έχει νόημα η εξίσωση πρέπει $\displaystyle x \ge - 1$

Επίσης, πρέπει $\displaystyle a \ge - 2x$ , οπότε για $\displaystyle a < 2$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Έστω ότι υπάρχει $x \ge -1$ που την επαληθεύει.

Τότε,

$\sqrt {{x^3} + 1} + \sqrt {2x + a} = \sqrt {x + a - 1} \Leftrightarrow \sqrt {{x^3} + 1} = \sqrt {x + a - 1} - \sqrt {2x + a}$

Το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, οπότε πρέπει

$\sqrt {x + a - 1} \ge \sqrt {2x + a} \Leftrightarrow x + a - 1 \ge 2x + a \Leftrightarrow x \le - 1$

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση , με τη συνθήκη $a \ge 2$ .

Γιώργο, έπιασες ακριβώς το σκεπτικό της κατασκευής της άσκησης.

Άρρητη εξίσωση

Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση