Ειδικές ρίζες

KARKAR · #1

Οι συντελεστές του τριωνύμου ax^2+bx+c

είναι μη μηδενικοί ακέραιοι .

Υπάρχει περίπτωση οι ρίζες του τριωνύμου να είναι οι

και

;

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 15, 2022 8:39 am Οι συντελεστές του τριωνύμου είναι μη μηδενικοί ακέραιοι .

Υπάρχει περίπτωση οι ρίζες του τριωνύμου να είναι οι και ;

Ναι για την εξίσωση x^2+x-2=0

(προκύπτει από Vieta)

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 15, 2022 8:39 am Οι συντελεστές του τριωνύμου είναι μη μηδενικοί ακέραιοι .

Υπάρχει περίπτωση οι ρίζες του τριωνύμου να είναι οι και ;

Ναι, υπάρχει περίπτωση.

Είναι ενδιαφέρον να δούμε την γενικότερη περίπτωση, αγνοώντας προς στιγμήν την απαίτηση οι συντελεστές να είναι ακέραιοι.

Τέτοιο είναι το τριώνυμο $ax^2+ \dfrac {1}{a}x -\dfrac {1}{a} - \dfrac {1}{a^2}$ , του οποίου οι ρίζες είναι οι $\dfrac {1}{a}$ και $-\dfrac {1}{a}- \dfrac {1}{a^2}$ . Ο έλεγχος άμεσος.

Πώς σκέφτηκα; Απλά έλυσα ως προς $b,\,c$ το σύστημα α) άθροισμα των ριζών που θέλω ίσον $b+c= -\dfrac {b}{a}$ και γινόμενο $bc= \dfrac {c}{a}$ . (H δεύτερη μας δίνει αμέσως το

, και λοιπά.)

Η μέθοδος δείχνει ότι, δεδομένου του

, το παραπάνω τριώνυμο είναι μοναδικό.

Τώρα, αν θέλουμε οι συντελεστές να είναι ακέραιοι, τότε πρέπει

και $b= \dfrac {1}{a}$ να είναι ακέραιοι. Έπεται $a=\pm 1$ , που δίνουν (και τα δύο) το τριώνυμο του Γιώργου στο προηγούμενο ποστ.

Ειδικές ρίζες

Ειδικές ρίζες

Re: Ειδικές ρίζες

Re: Ειδικές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση