Ελάχιστο για νεότερους

KARKAR · #1

α) Γράψτε την ποσότητα : a^4+b^4

, συναρτήσει των S=a+b

και

.

β) Αν : q , r

, είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου : $x^2-\dfrac{k}{2}x-\dfrac{1}{k^2}$ , με : k>0

,

βρείτε το ελάχιστο της παράστασης : q^4+r^4

. ( Άσκηση υψηλής δυσκολίας ) .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 02, 2024 7:57 pm α) Γράψτε την ποσότητα : , συναρτήσει των και .

β) Αν : , είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου : $x^2-\dfrac{k}{2}x-\dfrac{1}{k^2}$ , με : ,

βρείτε το ελάχιστο της παράστασης : . ( Άσκηση υψηλής δυσκολίας ) .

α) $\displaystyle {a^4} + {b^4} = {({a^2} + {b^2})^2} - 2{a^2}{b^2} = {\left( {{{(a + b)}^2} - 2ab} \right)^2} - 2{(ab)^2} = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}$

β) $\displaystyle {q^4} + {r^4} = {\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + \frac{2}{{{k^2}}}} \right)^2} - \frac{2}{{{k^4}}} = {\left( {\frac{{{k^2}}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{{k^2}}}} \right)^2} + 1 = {\left( {\frac{{{k^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{{{k^2}}}} \right)^2} + 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Άρα, $\boxed{{q^4} + {r^4} \geqslant 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \frac{{{k^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{{{k^2}}} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{k > 0}$ $\boxed{k = \sqrt[8]{{32}}}$

KARKAR · #3

Με μικροδιαφορές από τον Γιώργο

α) $...= S^4-4PS^2+2P^2=\dfrac{k^4}{16}+1+\dfrac{2}{k^4}$ , αφού : $S=\dfrac{k}{2} , P=-\dfrac{1}{k^2}$

β) Από ανισότητα AM-GM

: $\dfrac{k^4}{16}+\dfrac{2}{k^4}\geq 2\sqrt{\dfrac{k^4}{16}\cdot \dfrac{2}{k^4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ , είναι στην ύλη της Α' Λυκείου . Κάνω έκκληση στους διδάσκοντες αυτής

της τάξης , να ζητούν από τους μαθητές ( για a,b>0

) , την απόδειξη της : $\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ .

Ελάχιστο για νεότερους

Ελάχιστο για νεότερους

Re: Ελάχιστο για νεότερους

Re: Ελάχιστο για νεότερους

Μέλη σε σύνδεση