Παραβολή και κύκλος

KARKAR · #1

: Παραβολή και κύκλος.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές

Κύκλος με κέντρο

και ακτίνα

, τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x-2$

στα σημεία A, B , C , D

, με το

στο

τεταρτημόριο , το

στο

και τα

, στο

.

Αν τα B , C

είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{AOD}$ , είναι ορθή .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2024 12:50 pm
Παραβολή και κύκλος.pngΚύκλος με κέντρο και ακτίνα , τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x-2$

στα σημεία , με το στο τεταρτημόριο , το στο και τα , στο .

Αν τα είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{AOD}$ , είναι ορθή .

Έστω ότι $B\left( { - k,m} \right) \Rightarrow C\left( {k, - m} \right)\,\,,k > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,m > 0\,$ ισχύουν ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} {k^2} + {m^2} = {r^2} \hfill \\ m = {k^2} + \frac{7}{2}k - 2 \hfill \\ - m = {k^2} - \frac{7}{2}k - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Παραβολή και κύκλος_ok.png (54.25 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές

Από τις δύο τελευταίες με πρόσθεση κατά μέλη έχω , ${k^2} = 2 \Rightarrow k = \sqrt 2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,m = \dfrac{{7\sqrt 2 }}{2}$ . έτσι η πρώτη δίδει : ${r^2} = \dfrac{{106}}{4}$ .

Τώρα έυκολα με βάσει τους περιορισμούς προκύπτουν , $A\left( {\dfrac{9}{2},\dfrac{5}{2}} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {\dfrac{5}{2}, - \dfrac{9}{2}} \right)$ . Επαληθεύω το Π. Θ. στο $\vartriangle AOD$ κι έχω αυτό που θέλω.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 17, 2024 12:50 pm
Παραβολή και κύκλος.pngΚύκλος με κέντρο και ακτίνα , τέμνει την παραβολή με εξίσωση : $f(x)=x^2-\dfrac{7}{2}x-2$

στα σημεία , με το στο τεταρτημόριο , το στο και τα , στο .

Αν τα είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{AOD}$ , είναι ορθή .

Έστω $\displaystyle B\left( {b,{b^2} - \frac{7}{2}b - 2} \right),C\left( {c,{c^2} - \frac{7}{2}c - 2} \right).$ Επειδή το

είναι μέσο του

θα είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} b + c = 0 \hfill \\ {b^2} + {c^2} - \frac{7}{2}(b + c) - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {-\sqrt 2 ,\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right),C\left( { \sqrt 2 , - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right)$ και $\displaystyle {r^2} = O{B^2} = \frac{{53}}{2}$

: Παραβολή και κύκλος.Κ.png (30.65 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Τα άλλα δύο σημεία A, D

εντοπίζονται από την εξίσωση $\displaystyle {x^2} + {\left( {{x^2} - \frac{7}{2}x - 2} \right)^2} = \frac{{53}}{2},$ όπου $x=\dfrac{9}{2}$ ή $x=\dfrac{5}{2}.$

Άρα, $\displaystyle A\left( {\frac{9}{2},\frac{5}{2}} \right),D\left( {\frac{5}{2}, - \frac{9}{2}} \right).$ Τέλος, $\displaystyle \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OD} = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\left( { - \frac{9}{2}} \right) = 0$ και το ζητούμενο έπεται.

KARKAR · #4

Η άσκηση βρίσκεται στον φάκελο της Άλγεβρας Α' Λυκείου . Η καθετότητα λοιπόν προτιμότερο να δειχθεί

με το Πυθαγόρειο Θεώρημα . Όμως η εύρεση των σημείων A , D

, απαιτεί λύση εξίσωσης 4ου βαθμού

η οποία είναι εκτός ύλης για την συγκεκριμένη τάξη...

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 10:09 am
Η άσκηση βρίσκεται στον φάκελο της Άλγεβρας Α' Λυκείου . Η καθετότητα λοιπόν προτιμότερο να δειχθεί

με το Πυθαγόρειο Θεώρημα . Όμως η εύρεση των σημείων , απαιτεί λύση εξίσωσης 4ου βαθμού

η οποία είναι εκτός ύλης για την συγκεκριμένη τάξη...

Έχω το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} y = {x^2} - \frac{{7x}}{2} - 2 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = \frac{{106}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 4{x^4} - 28{x^3} + 37{x^2} + 56x - 90 = 0$ .

Η πιο πάνω εξίσωση γράφεται ( με επιδέξιους χειρισμούς Γ γυμνασίου , Βεβαίως –βεβαίως !):

$4{x^4} - 28{x^3} + 45{x^2} - 8{x^2} + 56x - 90 = 0$ ή $\left( {4{x^2} - 28x + 45} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) = 0$ . κ. λ. π.

Παραβολή και κύκλος

Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Re: Παραβολή και κύκλος

Μέλη σε σύνδεση