Ρίζες τριωνύμου

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η εξίσωση 3x^2-5x-1=0

και έστω $\alpha$ , $\beta$ οι ρίζες αυτής.

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{\alpha \beta \left ( \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\beta^2} \right )}$ .
Να σχηματιστεί εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς $\alpha - \frac{1}{\beta}$ και $\beta - \frac{1}{\alpha}$ .

Nikitas K. · #2

i.
Τύποι Βιετά:
$S := a+b = -\frac{-5}{3}=\frac{5}{3} \wedge P := ab = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$ .

Πράγματι,
$ab\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)=P\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) = P \cdot \frac{S}{P} \cdot\frac{b-a}{P} = \frac{S}{P}\left(S-2a\right)$

$= \frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{3}}\left(\frac{5}{3}-2\cdot \frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 3\cdot (-1)}}{2\cdot 3}\right) = -5\left( \frac{5}{3}-\frac{5\pm\sqrt{25+12}}{3}\right) = -5\cdot\frac{\mp\sqrt{37}}{3} = \pm\frac{5\sqrt{37}}{3}$ .

ii.
Άθροισμα ριζών ζητούμενης εξίσωσης:
$S' := a-\frac{1}{b} + b - \frac{1}{a} = S - \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = S - \frac{S}{P} = S \left(1-\frac{1}{P}\right) = \frac{5}{3} \left(1-\frac{1}{-\frac{1}{3}}\right) = \frac{5}{3}(1+3) = \frac{5}{3}\cdot 4 =\frac{20}{3}$ .

Γινόμενο ριζών ζητούμενης εξίσωσης:
$P' := \left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{a}\right) = P -1-1+\frac{1}{P} = P+\frac{1}{P} - 2 = -\frac{1}{3}+\frac{1}{-\frac{1}{3}}-2= -\frac{1}{3}-3-2 =-\frac{1}{3}-5=-\frac{16}{3}$ .

Ζητούμενη εξίσωση:
$x^2-S'x+P'=0 \Leftrightarrow x^2-\frac{20}{3} x -\frac{16}{3} = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 20x -16 = 0$ .

Christos.N · #3

Το σκέφτηκα στον δρόμο σήμερα ...

Nikitas K. · #4

Ωραία ιδέα!

Christos.N έγραψε: Τετ Ιούλ 03, 2024 12:29 am
Το σκέφτηκα στον δρόμο σήμερα ...

Επιπρόσθετα μπορούμε να καταλήξουμε στην παραπάνω ισότητα ακολουθώντας την παρακάτω μέθοδο· γενικά, για τριώνυμα a_2x^2+a_1x+a_0

με πραγματικές ρίζες r_1

και

ισχύει:
$\left|r_1-r_2\right| =\frac{\sqrt\Delta} {\left|a_2\right| }= \sqrt{\frac{a_1^2 - 4 a_2 a_0}{a_2^2}}= \sqrt{\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2-4\cdot\frac{a_0}{a_2}}=\sqrt{\left[-\left(r_1+r_2\right)\right]^2-4r_1r_2}=\sqrt{\left(r_1+r_2\right)^2-4r_1r_2}$ .

Θέτοντας r_1 := b

και

λαμβάνουμε:

$\left|b-a\right| = \sqrt{\left( b+a \right)^2-4ba}=\sqrt{S^2-4P}$ .

Ήτοι $b-a = \pm\sqrt{S^2-4P}$ .

Ρίζες τριωνύμου

Ρίζες τριωνύμου

Re: Ρίζες τριωνύμου

Re: Ρίζες τριωνύμου

Re: Ρίζες τριωνύμου

Μέλη σε σύνδεση