Παραμετρική εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Για κάθε τιμή της παραμέτρου

να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

$max \{ 1-2x,x+4 \}= min \{4x+7, -2+x \} +3ax-3$ .

vgreco · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 08, 2022 8:12 pm
Για κάθε τιμή της παραμέτρου να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

$max \{ 1-2x,x+4 \}= min \{4x+7, -2+x \} +3ax-3$ .

Ισοδύναμα:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \max\{ 1 - 2x, x + 4 \} = \min\{ 4x + 7, -2 + x \} + 3ax - 3 &\Leftrightarrow 5 - x + 3|x + 1| = 5x + 5 - 3|x + 3| + 6ax - 6 \\[0.1in] &\Leftrightarrow |x + 1| + |x + 3|= 2(a + 1)x - 2 \quad (1) \end{aligned} }$

Διακρίνω περιπτώσεις:

. Τότε:

$\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow -x - 1 - x - 3 = 2(a + 1)x - 2 \Leftrightarrow (a + 2)x = -1 \overset{\text{\textgreek{αν} } a \; \ne \; -2}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} x = -\dfrac{1}{a + 2} }$

Συνεπώς, στο διάστημα $(-\infty, -3)$ η έχει μία λύση όταν:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &a \ne -2 \\[0.05in] &-\dfrac{1}{a + 2} < -3 \\[0.05in] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{a \in \biggl( -2, -\dfrac{5}{3} \biggr)} }$

και καμία σε διαφορετική περίπτωση.
‎
‎
$-3 \le x \le -1$ . Τότε:

$\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow -x - 1 + x + 3 = 2(a + 1)x - 2 \Leftrightarrow (a + 1)x = 2 \overset{\text{\textgreek{αν} } a \; \ne \; -1}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} x = \dfrac{2}{a + 1} }$

Συνεπώς, στο διάστημα η έχει μία λύση όταν:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &a \ne -1 \\[0.05in] &\dfrac{2}{a + 1} \ge -3 \\[0.05in] &\dfrac{2}{a + 1} \le -1 \\[0.05in] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &a \in [-3, 1) \\[0.05in] &a \in \biggl(-\infty, -\dfrac{5}{3} \biggr] \cup (-1, +\infty) \\[0.05in] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \boxed{a \in \biggl[-3, -\dfrac{5}{3} \biggr]} }$

και καμία σε διαφορετική περίπτωση.
‎
‎
. Τότε:

$\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow 2x + 4 = 2(a + 1) x - 2 \Leftrightarrow ax = 3 \overset{\text{\textgreek{αν} } a \; \ne \; 0}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} x = \dfrac{3}{a} }$

Συνεπώς, στο διάστημα $(1, +\infty)$ η έχει μία λύση όταν:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} &a \ne 0 \\[0.05in] &\dfrac{3}{a} > -1 \\[0.05in] \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \boxed{a \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)} }$

και καμία σε διαφορετική περίπτωση.

Συνοψίζοντας, η (1)

έχει:

δύο ακριβώς λύσεις αν $a \in \biggl( -2, -\dfrac{5}{3} \biggr)$ .
‎
μία ακριβώς λύση αν $a \in (-\infty, -2] \cup (0, +\infty) \cup \biggl\{ -\dfrac{5}{3} \biggr\}$ .
καμία λύση αν $a \in \biggl( -\dfrac{5}{3}, 0 \biggr]$ .

Παραμετρική εξίσωση

Παραμετρική εξίσωση

Re: Παραμετρική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση