Άσκηση με τριώνυμο

nmavro · #1

Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το $x^2+y^2-4x-4y+\lambda >0$
Η απάντηση που δίνεται είναι λ>8.
Εγώ κάνοντας όμως πράξεις και θεωρώντας το τριώνυμο ως προς x βρήκα ότι για λ<8 το τριώνυμο έχει Δ<0 άρα ειναι θετικό.
Για λ=8 έχω Δ=0 οπότε μιλάμε για ένα σημείο το (2,2) όπου είναι 0 και παντού αλλού θετικό.

Για λ>8 όμως που λέει η απάντηση από κάτω δεν γίνεται καν να ισχύει νομίζω. Αφού αν το παραπάνω είναι εξίσωση κύκλου. Αν το μετασχηματίσουμε βγαίνει $(x-2)^2+(y-2)^2=8-\lambda$ . Δηλαδή πρέπει πάντα $8-\lambda \geq 0$

Πως είναι δυνατόν να δίνει απάντηση λ>8 λοιπόν;

sybe · #2

καλημέρα.

$x^{2}+y^{2}-4x-4y+\lambda >0$
γίνεται όπως σωστά γράφεις
$\left( x-2\right)^{2}+\left( y-2\right)^{2}+\left( \lambda-8\right) >0$
οι δύο πρώτοι όροι είναι μη αρνητικοί άρα για να είναι θετικό πρέπει ο τρίτος όρος να είναι θετικός δηλαδή $\lambda-8 >0$ και βγήκε το ζητούμενο.

Και διακρίνουσα να πάρεις ως προς χ βγαίνει το ίδιο. Άρα κάπου έκανες βιαστικά τις πράξεις.
Η διακρίνουσα που βρήκα ως προς χ είναι $\Delta =-4\left(y^{2}-4y+\lambda -4 \right)$ . Για να είναι για κάθε x θετικό θέλουμε $\Delta < 0$ Παίρνω πάλι διακρίνουσα μικρότερη από το 0, για να είναι για κάθε y θετικό το $y^{2}-4y+\lambda -4$ και βγαίνει $32-4\lambda <0$

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Καλημέρα και από μένα
$x^{2}-4x+\left(y^{2}-4y+\lambda \right)\succ 0\Rightarrow \Delta \prec 0\Rightarrow -4\left(y^{2}-4y+\lambda -4 \right)\prec 0 \Rightarrow D\prec 0\Rightarrow \lambda \succ 8$
Δεν φαίνεται να υπάρχει πρόβλημα

nmavro · #4

Αυτές τις διακρίνουσες βρήκα και γω. Απλά πηγαίνοντας το λ-8 στο άλλο μέλος προβληματίστηκα λίγο με το πρόσημο.Η εκφώνηση πάντως δεν λέει να είναι πάντα θετικό το τριώνυμο αυτό, αλλά που είναι θετικό. Δεν θα μπορούσε η πρώτη διακρίνουσα να είναι θετική και να υπάρχουν πάλι τιμές που να είναι θετικό;

sybe · #5

λάθος αυτό που έγραψα για το παντού θετικό (αν αναφέρεσαι στην δική μου απάντηση). Επρεπε να γράψω "για να είναι θετικό πρέπει λ - 8>0"
Το διόρθωσα.

Άσκηση με τριώνυμο

Άσκηση με τριώνυμο

Re: Άσκηση με τριώνυμο

Re: Άσκηση με τριώνυμο

Re: Άσκηση με τριώνυμο

Re: Άσκηση με τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση