απολυτα

marmix · #1

#2

1) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
* Αν x<1

τότε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=-x+1-x+2=3-2x}$ ,
* Αν $1 \leq x\leq 2$ τότε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=x-1-x+2=1}$ ,
* Αν x>2

τότε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=x-1+x-2=2x-3}$ .

Συνεπώς βρήκαμε ότι:

$\displaystyle{|x-1|+|x-2|=\begin{cases} 3-2x & \text{ if } x <1 \\ 1 & \text{ if } 1 \leq x \leq 2 \\ 2x-3 & \text{ if } x>2 \end{cases}}$ .

Τώρα είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι $|x-1|+|x-2| \geq 1$ .

* Αν x<1

έχουμε $2x < 2 \Leftrightarrow -2x>-2 \Leftrightarrow 3-2x>1$ , άρα |x-1|+|x-2|>1

,
* Αν $1 \leq x\leq 2$ έχουμε $\displaystyle{|x-1|+|x-2|=1}$ ,
* Αν x>2

έχουμε $2x>4 \Leftrightarrow 2x -3>1$ , άρα $\displaystyle{|x-1|+|x-2|>1}$ .

Επομένως η παράσταση

έχει ελάχιστη τιμή ίση με

όταν $1\leq x \leq 2$ .

#3

Αλλιώς το 1:

Ισχύει $\displaystyle{|a-b|\leq |a|+|b|}$ και ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{ab\leq 0.}$

Άρα $\displaystyle{|x-1|+|x-2|\geq |x-1-(x-2)|=1}$ και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{(x-1)(x-2)\leq 0\Leftrightarrow x\in [1,2].}$

Γιώργος Απόκης · #4

Για το 2) (Με το σκεπτικό του Λευτέρη). Έστω A=||x-1|-|x-2||

$\bullet$ Aν $x\leq 1$ , τότε A=|(1-x)-(2-x)|=|1-x-2+x|=1

.

$\bullet$ Aν 1<x<2

, τότε

.

Αν $\displaystyle{1<x\leq \frac{3}{2}}$ , τότε A=3-2x

Αν $\displaystyle{\frac{3}{2}< x<2}$ , τότε A=2x-3

$\bullet$ Aν $x\geq 2$ , τότε A=|(x-1)-(x-2)|=|x-1-x+2|=1

.

Εύκολα προκύπτει ότι στο διάστημα (1,2)

η παράσταση παρουσιάζει ελάχιστη τιμή το

για $\displaystyle{x=\frac{3}{2}}$ .

Επίσης, η μέγιστη τιμή της είναι το

για $x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty)$ .

απολυτα

απολυτα

Re: απολυτα

Re: απολυτα

Re: απολυτα

Μέλη σε σύνδεση