Τριώνυμο

#1

Θεωρούμε το τριώνυμο f(x)=ax^2+bx+c

, όπου

και $f(x)\geq0$ για κάθε

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{ P=\frac{a+b+c}{b-a}.}$

nikoszan · #2

Για να ισχύει $\displaystyle{a{x^2} + bx + c \ge 0,\forall x \in R}$ πρέπει και αρκεί να είναι $\displaystyle{\left( {a = b = 0\,\,,\,\,\,c \ge 0} \right)}$ ή $\displaystyle{\left( {a > 0,{b^2} - 4ac \le 0} \right)}$ .Επειδή όμως δόθηκε $\displaystyle{a < b}$ συμπεραίνουμε ότι είναι $\displaystyle{0 < a < b}$ και $\displaystyle{{b^2} - 4ac \le 0}$ , οπότε ισχύει $\displaystyle{c \ge \frac{{{b^2}}}{{4a}}}$ .
Ετσι έχουμε $\displaystyle{P = \frac{{a + b + c}}{{b - a}} \ge \frac{{a + b + \frac{{{b^2}}}{{4a}}}}{{b - a}} = \frac{{{b^2} + 4ab + 4{a^2}}}{{4a\left( {b - a} \right)}} = \frac{b}{{4a}} + \frac{5}{4} + \frac{{9a}}{{4\left( {b - a} \right)}} = }$
$\displaystyle{ = \frac{{b - a}}{{4a}} + \frac{{9a}}{{4\left( {b - a} \right)}} + \frac{3}{2} \ge 2\sqrt {\left( {\frac{{b - a}}{{4a}}} \right)\left( {\frac{{9a}}{{4\left( {b - a} \right)}}} \right)} + \frac{3}{2} = 3}$ ,με την ισότητα να ισχύει μόνο οταν
$\displaystyle{\left\{ {\frac{{b - a}}{{4a}} = \frac{{9a}}{{4\left( {b - a} \right)}} \wedge c = \frac{{{b^2}}}{{4a}} \wedge a > 0} \right\} \Leftrightarrow b = c = 4a > 0}$ .Αρα $\displaystyle{{P_{\min }} = 3}$ .
Ν.Ζ.

#3

nikoszan έγραψε:Για να ισχύει $\displaystyle{a{x^2} + bx + c \ge 0,\forall x \in R}$ πρέπει και αρκεί να είναι $\displaystyle{\left( {a = b = 0\,\,,\,\,\,c \ge 0} \right)}$ ή $\displaystyle{\left( {a > 0,{b^2} - 4ac \le 0} \right)}$ .Επειδή όμως δόθηκε $\displaystyle{a < b}$ συμπεραίνουμε ότι είναι $\displaystyle{0 < a < b}$ και $\displaystyle{{b^2} - 4ac \le 0}$ , οπότε ισχύει $\displaystyle{c \ge \frac{{{b^2}}}{{4a}}}$ .
Ν.Ζ.

Δανειζόμενος αυτά από τον Νίκο, έχω:
$\displaystyle{P = \frac{{b + c + a}}{{b - a}} = \frac{{\frac{b}{a} + \frac{c}{a} + 1}}{{\frac{b}{a} - 1}}\mathop \ge \limits^{\frac{c}{a} \ge {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} \frac{{\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)}^2} + 1}}{{\frac{b}{a} - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{b}{{2a}} + 1} \right)}^2}}}{{\frac{b}{a} - 1}}}$
Θέτω τώρα για ευκολία : $\displaystyle{\frac{b}{a}=x>1}$ και...
$\displaystyle{P \ge \frac{{{{\left( {\frac{x}{2} + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{2} + 1} \right)}^2}}}{{2\frac{x}{2} - 1}}\mathop = \limits^{y = \frac{x}{2},y > \frac{1}{2}} \frac{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{2y - 1}} = \frac{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{2(y + 1) - 3}}\mathop = \limits^{w = y + 1,w > \frac{3}{2}} \frac{{{w^2}}}{{2w - 3}}}$
Όμως:
$\displaystyle{{\left( {w - 3} \right)^2} \ge 0,w > \frac{3}{2} \Leftrightarrow {w^2} \ge 6w - 9 = 3(2w - 3),w > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{{w^2}}}{{(2w - 3)}} \ge 3,w > \frac{3}{2}}$
Επομένως:
$\displaystyle{P \ge 3}$
Η ισότητα αληθεύει αν και μόνον αν $\displaystyle{w = 3 \Leftrightarrow y + 1 = 3 \Leftrightarrow y = 2 \Leftrightarrow x = 4 \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 4 \Leftrightarrow b = 4a}$ αλλά και $\displaystyle{\frac{c}{a} = \frac{{16{a^2}}}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow c = 4a}$

hsiodos · #4

Παίρνοντας έτοιμο ότι $\displaystyle{b > a > 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,4ac \ge b^2 }$ , έχουμε:

$\displaystyle{ (b - c)^2 \ge 0 \Rightarrow b^2 - 2bc + c^2 \ge 0 \Rightarrow b^2 \ge 2bc - c^2 \Rightarrow 4ac \ge 2bc - c^2 \Rightarrow 4a \ge 2b - c}$

$\displaystyle{ \Rightarrow 2a + c \ge 2(b - a) \Rightarrow \frac{{2a + c}}{{b - a}} \ge 2 \Rightarrow \frac{{2a + c}}{{b - a}} + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{{a + b + c}}{{b - a}} \ge 3}$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{ b - c = 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,b^2 = 4ac \Rightarrow b = c = 4a}$

Γιώργος

#5

Ωραίες λύσεις!

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=371142

Τριώνυμο

Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Re: Τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση