Δευτεροβάθμια Εξίσωση

Συντονιστής: stranton

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2711
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Δευτεροβάθμια Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Μάιος 04, 2013 10:08 am

Δίνεται ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση ax^2+bx+c=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Όμως, ο Γιώργος έγραψε λανθασμένη τιμή για το a και βρήκε δυο ρίζες, το 2 και το 4,
ενώ ο Γιάννης βρήκε ως ρίζες το -1 και το 4, διότι έγραψε κάποιο όρο κατά λάθος με αντίθετο πρόσημο.
Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{b+c}{a}.

Ερώτηση: Θα μπορούσε να τεθεί ένα τέτοιο πρόβλημα, με κατάλληλα υποερωτήματα ως ΘΕΜΑ Δ σε προαγωγικές εξετάσεις;


Καλή Ανάσταση! Καλό Πάσχα σε όλους!

Αχιλλέας


Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 524
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Δευτεροβάθμια Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Σάβ Μάιος 04, 2013 11:33 am

Ωραία αυτή η άσκηση.Δεν έχω συναντήσει παρόμοια.

Έστω a_1 η λανθασμένη τιμή που έβαλε ο Γιώργος.
Έχουμε τις σχέσεις: 16a_1+4b+c=0,4a_1+2b+c=0\Rightarrow a_1=\frac{c}{8}(1).
Επίσης από τους τύπου Vieta είναι \frac{b+c}{a_1}=2\Leftrightarrow b+c=2a_1.

Ο Γιάννης,απ'την άλλη,δεν μπορεί να έκανε λάθος στο πρόσημο του b,γιατί έτσι δε θα άλλαζε το πρόσημο της διακρίνουσας οπότε δε θα έβρισκε πραγματικές ρίζες.
Λαμβάνουμε λοιπόν 2 περιπτώσεις:
1η περίπτωση:Αν άλλαξε το πρόσημο του a τότε έχουμε τις σχέσεις -a-b+c=0,-16a+4b+c=0(2).
Από (1) και (2) παίρνουμε a_1+a=0,άρα-από Vieta- \frac{b+c}{a}=7\Leftrightarrow \frac{a_1}{a}=\frac{7}{2},άτοπο γιατί κανείς από τους a_1,a δεν είναι μηδέν.

2η περίπτωση:Αν άλλαξε το πρόσημο του c τότε έχουμε τις σχέσεις a-b-c=0,16a+4b-c=0\Rightarrow a=\frac{c}{4}.Από Vieta βρίσκουμε ότι \frac{b+c}{a}=1\Leftrightarrow \frac{a_1}{a}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\frac{c}{8}}{\frac{c}{4}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0=0 που ισχύει.

Άρα \frac{b+c}{a}=1.


Αντώνης Ζητρίδης
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Δευτεροβάθμια Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Σάβ Μάιος 04, 2013 3:36 pm

1.Πραγματικά έξυπνη άσκηση, για ξύπνιους ανθρώπους.
2.Ευχαριστούμε τον Γιώργο και τον Γιάννη που με τα προβλήματα οράσεως που έχουν ήταν η αιτία για τη δημιουργία της άσκησης αυτής.
3. Η απάντηση στην ερώτηση αν θα μπορούσε η άσκηση να δοθεί σε προαγωγικές εξετάσεις, μου θυμίζει την απάντηση που έδωσε ένας ξάδερφος μου http://labastia.blogspot.gr/search/labe ... E%B9%CE%B1
στην ερώτηση που του θέσανε, αν τρώγονται όλα τα μανιτάρια.
- Ναι όλα τρώγονται είπε! Ορισμένα όμως, μια φορά!

Χρόνια πολλά σε όλους, καλή Ανάσταση και ΚΑΛΗ ΑΝΑΣΤΑΣΗ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης