Σύστημα
Συντονιστής: stranton
-
- Δημοσιεύσεις: 60
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:26 am
Σύστημα
Καλημέρα
Έστω α,β,γ θετικοι ακέραιοι με α<β<γ
και ακόμα το σύστημα
2χ+ψ=2003,ψ=|χ-α|+|χ-β|+|χ-γ|
το οποίο έχει ακριβώς μια λύση.
Να βρεθεί η ελαχιστη τιμή του γ
Έστω α,β,γ θετικοι ακέραιοι με α<β<γ
και ακόμα το σύστημα
2χ+ψ=2003,ψ=|χ-α|+|χ-β|+|χ-γ|
το οποίο έχει ακριβώς μια λύση.
Να βρεθεί η ελαχιστη τιμή του γ
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σύστημα
Εννοείς ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση σε ακεραίους; Διότι αλλιώς δεν μου φαίνεται να δουλεύει η άσκηση.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Σύστημα
Και για ακέραιες λύσεις των x, y παραείναι εύκολο.
Η μικρότερη δυνατή τιμή του γ είναι 3, όταν α =1, β =2.
Τότε, ελέγχοντας περιπτώσεις:
Για x > 3 έχουμε y = 3x - 6 και 2x + y = 2003, από όπου προκύπτει μη ακέραιο ζεύγος λύσεων.
Για 2 =< x =< 3 δεν προκύπτει ακέραιη λύση, ούτε για 1 =< x < 2.
Για , x < 1, είναι:
y = -3x + 6 και 2x + y = 2003, από όπου προκύπτει: x = -1997 και y = 5997.
Αγαπητέ Παναγιώτη, (rastaffari), μήπως κάπως αλλιώς έπρεπε να διατυπωθεί το πρόβλημα;
Φιλικά
Ρίζος Γιώργος
Η μικρότερη δυνατή τιμή του γ είναι 3, όταν α =1, β =2.
Τότε, ελέγχοντας περιπτώσεις:
Για x > 3 έχουμε y = 3x - 6 και 2x + y = 2003, από όπου προκύπτει μη ακέραιο ζεύγος λύσεων.
Για 2 =< x =< 3 δεν προκύπτει ακέραιη λύση, ούτε για 1 =< x < 2.
Για , x < 1, είναι:
y = -3x + 6 και 2x + y = 2003, από όπου προκύπτει: x = -1997 και y = 5997.
Αγαπητέ Παναγιώτη, (rastaffari), μήπως κάπως αλλιώς έπρεπε να διατυπωθεί το πρόβλημα;
Φιλικά
Ρίζος Γιώργος
-
- Δημοσιεύσεις: 60
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:26 am
Re: Σύστημα
Γεια χαρά
Κυριε Γιωργο (Rigio) η εκφώνηση είναι έτσι (δεν νομίζω να την έχω μεταφράσει λάθος)
το βράδυ που θα είμαι σπίτι θα τη βάλω και στα αγγλικά
Ευχαριστώ πολύ
Παναγιώτης
Κυριε Γιωργο (Rigio) η εκφώνηση είναι έτσι (δεν νομίζω να την έχω μεταφράσει λάθος)
το βράδυ που θα είμαι σπίτι θα τη βάλω και στα αγγλικά
Ευχαριστώ πολύ
Παναγιώτης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σύστημα
Νομίζω τώρα κατάλαβα τι ζητάει το θέμα. Συγνώμη αν σας σύγχυσα προηγουμένως. Λοιπόν, η άσκηση δεν μιλάει για τα χ,ψ να είναι ακέραιοι, άρα μάλλον επιτρέπεται να μην είναι ακέραιοι.
1) Σίγουρα θέλουμε γ >= 3.
2) Αν 3 <= γ <= 1000, τότε με α=γ-2 < β = γ-1 < γ έχουμε τις λύσεις χ = 3γ-2000 <= α και χ = (2000+3γ)/5 >=γ
3) Αν α=1 < β=1000 < γ=1001 έχουμε τις λύσεις χ = -1<α και α < χ = 3 < β
4) Τέλος, για α=1000,β=1001,γ=1002 υπάρχει μόνο η λύση χ= 1000.
(Λοίπουν αρκετές λεπτομέρειες και είναι πολύ πιθανόν να έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις αλλά νομίζω πως αυτή είναι η ιδέα.)
1) Σίγουρα θέλουμε γ >= 3.
2) Αν 3 <= γ <= 1000, τότε με α=γ-2 < β = γ-1 < γ έχουμε τις λύσεις χ = 3γ-2000 <= α και χ = (2000+3γ)/5 >=γ
3) Αν α=1 < β=1000 < γ=1001 έχουμε τις λύσεις χ = -1<α και α < χ = 3 < β
4) Τέλος, για α=1000,β=1001,γ=1002 υπάρχει μόνο η λύση χ= 1000.
(Λοίπουν αρκετές λεπτομέρειες και είναι πολύ πιθανόν να έχω κάνει κάποιο λάθος στις πράξεις αλλά νομίζω πως αυτή είναι η ιδέα.)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες