Παράσταση

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Παράσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μαρ 25, 2017 8:57 pm

Έστω a>1 , a \in \mathbb{R} η ρίζα της εξίσωσης x^3-x-1=0.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=\sqrt[3]{3a^2-4a}+\sqrt[3]{3a^2+4a+2}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4087
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Παράσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 25, 2017 9:23 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω a>1 , a \in \mathbb{R} η ρίζα της εξίσωσης x^3-x-1=0.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=\sqrt[3]{3a^2-4a}+\sqrt[3]{3a^2+4a+2}.
Καλησπέρα σε όλους.

Αν και σε φάκελο Α΄ Λυκείου, χρησιμοποίησα μελέτη συνάρτησης με εργαλεία ακροτάτων και μονοτονίας γιατί νομίζω ότι δεν μπορούν να υπάρξουν τέτοιες τιμές του a. Παρακαλώ, ελέγξτε ξανά τους υπολογισμούς μου, μήπως κάτι μού έχει ξεφύγει.

Για να ορίζεται στο R η A (με a > 0) πρέπει να είναι \displaystyle 3{a^2} - 4a \ge 0 \Leftrightarrow a\left( {3a - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a \ge \frac{4}{3}.

Έστω ότι υπάρχει a που είναι ρίζα της εξίσωσης x^3-x-1=0 και ικανοποιεί τον παραπάνω περιορισμό.

Τότε \displaystyle a \ge \frac{4}{3} \Leftrightarrow {a^3} - 1 \ge \frac{{37}}{{27}} , οπότε \displaystyle a \ge \frac{{37}}{{27}} (αφού \displaystyle a = {a^3} - 1 ).

Η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) = {x^3} - x - 1,\;\;x \in \left[ {\frac{{37}}{{27}},\; + \infty } \right) έχει παράγωγο \displaystyle f'\left( x \right) = 3{x^2} - 1 .

Μελετώντας την μονοτονία και τα ακρότατά της, εύκολα βρίσκουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο Π.Ο. της, οπότε για κάθε \displaystyle x \in \left[ {\frac{{37}}{{27}},\; + \infty } \right) είναι \displaystyle f\left( x \right) \ge f\left( {\frac{{37}}{{27}}} \right) > 0 , άρα δεν υπάρχει τέτοιο a που να την επαληθεύει.


edit: Μήπως ταιριάζει καλύτερα στην εκφώνηση: A=\sqrt[3]{3a^2-4a+2}+\sqrt[3]{3a^2+4a+2} ; ΔΕΝ το έχω διερευνήσει.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Σάβ Μαρ 25, 2017 9:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1950
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παράσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μαρ 25, 2017 9:36 pm

Γιώργο στα κανονικά μαθηματικά το \sqrt[3]{x}
ορίζετε μια χαρά για κάθε x\in \mathbb{R}

Βέβαια έχεις δίκιο γιατί είναι στο φάκελο της Α Λυκείου.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4087
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Παράσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 25, 2017 9:45 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Γιώργο στα κανονικά μαθηματικά το \sqrt[3]{x}
ορίζετε μια χαρά για κάθε x\in \mathbb{R}

Βέβαια έχεις δίκιο γιατί είναι στο φάκελο της Α Λυκείου.
Πάντως όταν ήμουν μαθητής Α΄ Λυκείου οριζόταν "μια χαρά" το \sqrt[3]{-1}.
(Μη φανταστείς ... προπολεμικά. Μιλώ για το 1978, με το βιβλίο Μπούσγου-Βαβαλέτσκου.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παράσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μαρ 25, 2017 11:17 pm

Να λυθεί η άσκηση γνωρίζοντας ότι ορίζονται π.χ. \sqrt[3]{-1}=-1 και \sqrt[3]{-8}=-2.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 26, 2017 1:07 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω a>1 , a \in \mathbb{R} η ρίζα της εξίσωσης x^3-x-1=0.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=\sqrt[3]{3a^2-4a}+\sqrt[3]{3a^2+4a+2}.
Ενδιαφέρον.

\displaystyle{\sqrt[3]{3a^2-4a}= \sqrt[3]{3a^2-4a-(a^3-a-1)} = \sqrt[3]{1-3a+3a^2-a^3}=  \sqrt[3]{(1-a)^3}=1-a}

και

\displaystyle{\sqrt[3]{3a^2+4a+2}= \sqrt[3]{3a^2+4a+2+(a^3-a-1)} = \sqrt[3]{a^3+3a^2+3a+1}= a+1}

Όλο μαζί ισούται (1-a)+(a+1)=2


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παράσταση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 26, 2017 10:24 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω a>1 , a \in \mathbb{R} η ρίζα της εξίσωσης x^3-x-1=0.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A=\sqrt[3]{3a^2-4a}+\sqrt[3]{3a^2+4a+2}.
Ενδιαφέρον.

\displaystyle{\sqrt[3]{3a^2-4a}= \sqrt[3]{3a^2-4a-(a^3-a-1)} = \sqrt[3]{1-3a+3a^2-a^3}=  \sqrt[3]{(1-a)^3}=1-a}

και

\displaystyle{\sqrt[3]{3a^2+4a+2}= \sqrt[3]{3a^2+4a+2+(a^3-a-1)} = \sqrt[3]{a^3+3a^2+3a+1}= a+1}

Όλο μαζί ισούται (1-a)+(a+1)=2
Ο κύριος Μιχάλης κάνει πάντα τα δύσκολα εύκολα! :clap2:


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης