Εωσφορική ...Ανίσωση

maiksoul · #1

Να λυθεί η ανίσωση : $\;\frac{\;\left |\; x^{4}-\;2\;\cdot x\;+\;1 \right |\;}{\;\sqrt{\;x^{2}-x\;}\;+\;1\;}\leq 0\;$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση : $\;\frac{\;\left |\; x^{4}-\;2\;\cdot x\;+\;1 \right |\;}{\;\sqrt{\;x^{2}-x\;}\;+\;1\;}\leq 0\;$

Η παράσταση ορίζεται για $x\leq 0\vee x\geq 1$

Η λύση της ανίσωσης είναι τέτοια ώστε να μηδενίζεται ο αριθμητής.

Αρα πρέπει να λύσουμε την $x^{4}-2x+1=0$

όταν $x\leq 0\vee x\geq 1$

Προφανής λύση το x=1

Για $x\leq 0$ προφανώς δεν έχει λύση

ενώ για x> 1

μη προφανώς δεν έχει λύση γιατί

$x^{4}-2x+1> x^{2}-2x+1> 0$

Μοναδική λύση η x=1

Παντως δεν ήταν ανίσωση για εξίσωση θα την έλεγα

maiksoul · #3

Γεια σου Σταύρο !

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παντως δεν ήταν ανίσωση για εξίσωση θα την έλεγα

Όλοι οι καθηγητές γνωρίζουμε οτι το ζητούμενο είναι εξίσωση ,όμως αυτό δεν το αναγνωρίζουν ολοι οι μαθητές ! Είναι ,ας πούμε , ένα αρχικό στάδιο προβληματισμού για τους μαθητές ! Πάντως δεν ήταν ούτε εωσφορική

!

Εχει ενδιαφέρον να δοθούν και άλλες λύσεις στην άσκηση. Μία Ίσως δώσω εγώ αργότερα.

Πολύ ωραία η λύση σου .

Καλό βράδυ !

#4

maiksoul έγραψε:Να λυθεί η ανίσωση : $\;\frac{\;\left |\; x^{4}-\;2\;\cdot x\;+\;1 \right |\;}{\;\sqrt{\;x^{2}-x\;}\;+\;1\;}\leq 0\;$

Καλημέρα!

Η παράσταση ορίζεται για $\displaystyle{x \le 0}$ ή $x\ge 1$ και έχει θετικό παρονομαστή και μη αρνητικό αριθμητή. Άρα θα πρέπει ο αριθμητής να είναι

$\displaystyle{{x^4} - 2x + 1 = {x^4} - {x^2} + {x^2} - 2x + 1 = {x^2}(x - 1)(x + 1) - {(x - 1)^2} = (x - 1)({x^3} + {x^2} + x - 1) = 0 \Leftrightarrow }$

$\boxed{x=1}$ ή $\displaystyle{{x^3} + {x^2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x({x^2} + x + 1) - 1 = 0}$

Η τελευταία όμως αυτή παράσταση είναι φανερά θετική για x>1

και αρνητική για $x\le 0.$ Άρα x=1

είναι η μοναδική λύση της ανίσωσης.

alexandrosvets · #5

Καλησπέρα κύριε Μιχάλη,

Για $x\geq 1$ ισχύει $x^2 \leq x^4 \Rightarrow \frac{|x^2-2x+1|}{\sqrt{x^2-x}+1}\leq \frac{|x^4-2x+1|}{\sqrt{x^2-x}+1}\leq 0$

Άρα επειδή είναι θετικός ο παρανομαστής,τότε $(x-1)^2=0 \Rightarrow x=1.$

Για $x\leq 0$ είναι αδύνατη γιατί ο αριθμητής είναι διάφορος του μηδενός.

Ζητώ συγγνώμη για την προχειρότητα της λύσης και αν βρίσκομαι εκτός ύλης.

edit: Από ότι βλέπω είναι σχεδόν ίδια με την λύση του κυρίου Σταύρου.Οπότε την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης.

maiksoul · #6

Καλησπέρα . Σας ευχαριστώ όλους για την ενασχόληση με την άσκηση.Μια σχεδόν ίδια αντιμετώπιση είναι η εξής:

Η ανίσωση ορίζεται όταν $x^2-x\geq0\;\;\;(1)$ . Όπως και πριν , καταλήγουμε στην εξίσωση x^4-2x+1=0

η οποία γίνεται:

x^4-2x^2+2x^2-2x+1=0

επομένως παίρνουμε :

$x^2-1=0\;\;\wedge \;\;x^2-x=0$

και καταλήγουμε στην x=1

που επαληθεύει .

Εωσφορική ...Ανίσωση

Εωσφορική ...Ανίσωση

Re: Εωσφορική ...Ανίσωση

Re: Εωσφορική ...Ανίσωση

Re: Εωσφορική ...Ανίσωση

Re: Εωσφορική ...Ανίσωση

Re: Εωσφορική ...Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση