Δευτεροβάθμια με παράμετρο

Συντονιστής: stranton

giorgos milonakos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Ιουν 30, 2017 4:04 pm

Δευτεροβάθμια με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giorgos milonakos » Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm

Δίνεται η εξίσωση x^2+(a-2)x+a^2+1=0, όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο a ώστε οι ρίζες της x_1, x_2, να επαληθεύουν τη σχέση |x_1|+|x_2|>3.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 23, 2018 7:55 pm

giorgos milonakos έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση x^2+(a-2)x+a^2+1=0, όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο a ώστε οι ρίζες της x_1, x_2, να επαληθεύουν τη σχέση |x_1|+|x_2|>3.
Πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow (a-2)^2-4(a^2+1)\geq 0\Leftrightarrow a\in[-\frac{4}{3},0].

Επίσης

|x_1|+|x_2|>3\Leftarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2|x_1x_2|>9


\Leftarrow -1-a^2-(a-2)x_1-1-a^2-(a-2)x_2+2(a^2+1)>9


\Leftarrow (2-a)(x_1+x_2)>9\Leftarrow (2-a)^2>9\Leftarrow |2-a|>3


\Leftarrow a\in[-\frac{4}{3},0]\cap \left ( (-\infty ,-1)\cup (5,+\infty ) \right )=[-\frac{4}{3},-1).


Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Τετ Μάιος 23, 2018 9:15 pm

Αλλιώς :

x_1*x_2=a^2+1>0 \Rightarrow |x_1|+|x_2|=|x_1+x_2|

Άρα

|x_1|+|x_2|>3 \Leftrightarrow |x_1+x_2|>3| \Leftrightarrow  |a-2|>3 \Leftrightarrow a>5 ή

-1>a

και από τον περιορισμό της διακρίνουσας παίρνουμε το απότέλεσμα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 23, 2018 9:25 pm

giorgos milonakos έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση x^2+(a-2)x+a^2+1=0, όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο a ώστε οι ρίζες της x_1, x_2, να επαληθεύουν τη σχέση |x_1|+|x_2|>3.
Ας λυθεί και όταν οι ρίζες είναι μιγαδικές,οπότε οι απόλυτες τιμές γίνονται μέτρα.

Εκτός φακέλου φυσικά αλλά εντός Μαθηματικής περιέργειας.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μάιος 23, 2018 11:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 1970 5:45 pm
giorgos milonakos έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση x^2+(a-2)x+a^2+1=0, όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο a ώστε οι ρίζες της x_1, x_2, να επαληθεύουν τη σχέση |x_1|+|x_2|>3.
Ας λυθεί και όταν οι ρίζες είναι μιγαδικές,οπότε οι απόλυτες τιμές γίνονται μέτρα.

Εκτός φακέλου φυσικά αλλά εντός Μαθηματικής περιέργειας.
Πρέπει a\in(-\infty ,-\frac{4}{3})\cup (0,+\infty ).

Οι μιγαδικές ρίζες είναι οι συζυγείς \frac{2-a \pm i\sqrt{3a^2+4a} }{2} με κοινό μέτρο \sqrt{\left \left ( \frac{2-a}{2} \right )^2+ \left ( \frac{\sqrt{3a^2+4a}}{2} \right )^2\right }=\sqrt{a^2+1}.

Άρα η ανίσωσή μας γίνεται

2\sqrt{a^2+1}>3\Leftrightarrow \sqrt{a^2+1}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow a^2+1 > \frac{9}{4}\Leftrightarrow a^2 > \frac{5}{4}\Leftrightarrow |a|>\frac{\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow a\in(-\infty ,-\frac{\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{\sqrt{5}}{2},+\infty ).

Συνδυάζοντας τους δύο περιορισμούς για το a παίρνουμε a\in(-\infty ,-\frac{4}{3})\cup (\frac{\sqrt{5}}{2},+\infty ).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δευτεροβάθμια με παράμετρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μάιος 23, 2018 11:57 pm

giorgos milonakos έγραψε:
Τετ Μάιος 23, 2018 6:23 pm
Δίνεται η εξίσωση x^2+(a-2)x+a^2+1=0, όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρεθεί ο a ώστε οι ρίζες της x_1, x_2, να επαληθεύουν τη σχέση |x_1|+|x_2|>3.
Τελικά αν δεν υποθέσουμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές η απάντηση είναι

a\in (-\infty ,-1)\cup (\frac{\sqrt{5}}{2},\infty )


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης