Θεωρία τριωνύμου
Συντονιστής: stranton
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Θεωρία τριωνύμου
Με αφορμή αυτή την άσκηση, θυμήθηκα παλαιότερες εποχές, τότε που το τριώνυμο είχε αίγλη και περνούσε μεγάλες δόξες.
Να πω σ' αυτό το σημείο ότι το τριώνυμο και οι απόλυτες τιμές αποτελούσαν, στις δεκαετίες του '50, '60 και αρχές του '70,
τη δεξαμενή απ' όπου αντλούνταν κατά κύριο λόγο θέματα εισαγωγικών εξετάσεων. Το τριώνυμο δεν ήταν απλώς αυτό που
γνωρίζουμε σήμερα, δηλαδή ρίζες τριωνύμου, πρόσημο και παραγοντοποίηση. Είχε χτιστεί μία ολόκληρη θεωρία γύρω από
αυτό και οι φροντιστές της εποχής καθώς και οι θεματοθέτες συναγωνίζονταν ο ένας τον άλλο σε σκληρή ασκησιολογία. Ας
δούμε λοιπόν μία βασική άσκηση από εκείνα τα χρόνια, για να θυμούνται οι παλαιότεροι και να μαθαίνουν οι νεώτεροι.
Δίνεται το τριώνυμο για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει
δύο πραγματικές και άνισες ρίζες με Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού
να βρείτε τη θέση του αριθμού ως προς τις ρίζες του τριωνύμου.
Αφήνεται ένα 48ωρο στους μαθητές (θέλω να δω πώς θα αντιμετωπίσουν την άσκηση οι μαθητές, μη γνωρίζοντας
την αντίστοιχη θεωρία. Στη συνέχεια προτίθεμαι να γράψω αυτή τη θεωρία, αν δεν το κάνει κάποιος άλλος).
Να πω σ' αυτό το σημείο ότι το τριώνυμο και οι απόλυτες τιμές αποτελούσαν, στις δεκαετίες του '50, '60 και αρχές του '70,
τη δεξαμενή απ' όπου αντλούνταν κατά κύριο λόγο θέματα εισαγωγικών εξετάσεων. Το τριώνυμο δεν ήταν απλώς αυτό που
γνωρίζουμε σήμερα, δηλαδή ρίζες τριωνύμου, πρόσημο και παραγοντοποίηση. Είχε χτιστεί μία ολόκληρη θεωρία γύρω από
αυτό και οι φροντιστές της εποχής καθώς και οι θεματοθέτες συναγωνίζονταν ο ένας τον άλλο σε σκληρή ασκησιολογία. Ας
δούμε λοιπόν μία βασική άσκηση από εκείνα τα χρόνια, για να θυμούνται οι παλαιότεροι και να μαθαίνουν οι νεώτεροι.
Δίνεται το τριώνυμο για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει
δύο πραγματικές και άνισες ρίζες με Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού
να βρείτε τη θέση του αριθμού ως προς τις ρίζες του τριωνύμου.
Αφήνεται ένα 48ωρο στους μαθητές (θέλω να δω πώς θα αντιμετωπίσουν την άσκηση οι μαθητές, μη γνωρίζοντας
την αντίστοιχη θεωρία. Στη συνέχεια προτίθεμαι να γράψω αυτή τη θεωρία, αν δεν το κάνει κάποιος άλλος).
Λέξεις Κλειδιά:
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Θεωρία τριωνύμου
Θεωρώ την (1) ,
Η εξίσωση έχει οπότε και
Άρα ή
Είναι:
Για :
επειδή
που ισχύει για κάθε , οπότε
Ομοίως κινούμαστε και για .
Πιθανώς να έχω κάποιο λάθος στις πράξεις ...
Η εξίσωση έχει οπότε και
Άρα ή
Είναι:
Για :
επειδή
που ισχύει για κάθε , οπότε
Ομοίως κινούμαστε και για .
Πιθανώς να έχω κάποιο λάθος στις πράξεις ...
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Θεωρία τριωνύμου
Στην παραπομπή ολίγα περί της τριωνυμίτιδος.
Γιώργο, θέλεις να ξαναγραφούν σε LaTex τα σχετικά αποσπάσματα της θεωρίας ή αρκούν απoσπάσματα (εικόνες) των βιβλίων της εποχής;
Γιώργο, θέλεις να ξαναγραφούν σε LaTex τα σχετικά αποσπάσματα της θεωρίας ή αρκούν απoσπάσματα (εικόνες) των βιβλίων της εποχής;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Θεωρία τριωνύμου
Δεν με πειράζει αν είναι εικόνες από βιβλία. Απλώς θέλω να φαίνεται κυρίως η διερεύνηση με τοΓιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 21, 2019 10:46 amΣτην παραπομπή ολίγα περί της τριωνυμίτιδος.
Γιώργο, θέλεις να ξαναγραφούν σε LaTex τα σχετικά αποσπάσματα της θεωρίας ή αρκούν απoσπάσματα (εικόνες) των βιβλίων της εποχής;
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Θεωρία τριωνύμου
Νομίζω ότι ο Γιώργος εννοεί κάτι σαν το παρακάτω:
Δίνεται η συνάρτηση
Πρόταση (1):
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες: ρίζες της .
τότε
Πρόταση (2):
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες: ρίζες της .
τότε
Δεν ξέρω αν ενδιαφερθεί κανείς να γράψει τη διερεύνηση. Αν όχι, θα επανέλθω, όμως μετά τις παρελάσεις της Δευτέρας.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Θεωρία τριωνύμου
Να ευχαριστήσω τον Γιώργο Ρίζο και απλώς να συμπληρώσω:Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 21, 2019 10:17 pmΝομίζω ότι ο Γιώργος εννοεί κάτι σαν το παρακάτω:
Δίνεται η συνάρτηση
Πρόταση (1):
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες: ρίζες της .
τότε
Πρόταση (2):
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες: ρίζες της .
τότε
Δεν ξέρω αν ενδιαφερθεί κανείς να γράψει τη διερεύνηση. Αν όχι, θα επανέλθω, όμως μετά τις παρελάσεις της Δευτέρας.
Πρόταση (3):
Αν τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, έστω και
Να τονίσω ότι σε αυτή την τρίτη περίπτωση, δεν χρειάζεται ο έλεγχος της διακρίνουσας.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θεωρία τριωνύμου
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Μαρ 22, 2019 11:05 am
Πρόταση (3):
Αν τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, έστω και
Να τονίσω ότι σε αυτή την τρίτη περίπτωση, δεν χρειάζεται ο έλεγχος της διακρίνουσας.
Ας δούμε μια απόδειξη για αυτή την πρόταση, που βασίζεται στην παρατήρηση ότι ο αριθμός βρίσκεται μεταξύ των αριθμών (ανεξάρτητα το ποιος από τους δυο είναι μεγαλύτερος), αν και μόνο αν .
Πράγματι,
ή ή .
Δηλαδή οι αριθμοί και είναι πάντα ετερόσημοι, που είναι ισοδύναμο με την αρνητικότητα του γινομένου τους.
Οπότε αν οι ρίζες ενός τριωνύμου θα έχουμε
ή
Από τους τύπους του Vieta όμως έχουμε
, άρα
Λόγω των ισοδυναμιών στο παραπάνω συλλογισμό, ισχύει και το αντίστροφο, που είναι η ζητούμενη πρόταση.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Θεωρία τριωνύμου
Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Πέμ Μαρ 21, 2019 10:17 pm
Δίνεται η συνάρτηση
Πρόταση (2):
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες: ρίζες της .
τότε
Ας δούμε μια απόδειξη για αυτή την πρόταση που βασίζεται στην παρατήρηση, ότι δυο αριθμοί είναι αρνητικοί, αν και μόνο αν το άθροισμά τους είναι αρνητικό και το γινόμενο τους θετικό (μπορεί να δειχθεί εύκολα). Οπότε έχουμε,
Από τους τύπους του Vieta όμως, είναι
Οπότε,
Λόγω των ισοδυναμιών, ισχύει και το αντίστροφο, που είναι η ζητούμενη πρόταση.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες