Απλή παραμετρική

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10842
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απλή παραμετρική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 26, 2019 8:45 am

\bigstar Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών a,b , λύστε την εξίσωση :

ax^2+(b-2a)x-2b=0



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3997
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Απλή παραμετρική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 26, 2019 9:54 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 26, 2019 8:45 am
\bigstar Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών a,b , λύστε την εξίσωση :

\displaystyle{ax^2+(b-2a)x-2b=0 \quad (1)}
  • Αν a=0 τότε η (1) είναι η πρωτοβάθμια bx = 2b. Συνεπώς:
    • Αν b=0 τότε η (1) είναι αόριστη.
    • Αν b \neq 0 τότε η (1) έχει μοναδική λύση τη x=2.
  • Αν a \neq 0 τότε η (1) είναι δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

    \displaystyle{\Delta = \left (b-2a \right )^2+4 \cdot 2 \cdot ba = b^2-4ab +4a^2 +8ab = b^2+4ab+4a^2 = \left ( 2a+b \right )^2\geq 0}
    Συνεπώς οι ρίζες τις εξίσωσης είναι:

    \displaystyle{x_{1, 2} = \frac{2a-b\pm \sqrt{\left ( 2a+b \right )^2}}{2a}= \frac{2a-b\pm \left | 2a+b \right |}{2a}}
    Τότε :
    • Αν 2a+b=0 τότε \Delta=0 και κατά συνέπεια η (1) έχει διπλή λύση την x=\frac{2a-b}{2a}.
    • Αν 2a+b>0 τότε |2a+b|=2a+b οπότε η (1) έχει δύο διακεκριμένες ρίζες τις:

      \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x_1 & = & \dfrac{2a-b+\left ( 2a+b \right )}{2a} = 2a\\\\ 
x_2 & = &  \dfrac{2a-b-\left ( 2a+b \right )}{2a} = -\dfrac{b}{a} 
\end{matrix}\right.}
    • Αν 2a+b<0 τότε |2a+b|=-(b+2a) οπότε η (1) έχει δύο διακεκριμένες ρίζες τις:

      \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x_1 & = & \dfrac{2a-b+\left ( -2a-b \right )}{2a} = -\dfrac{b}{a}\\\\ 
x_2 & = &  \dfrac{2a-b-\left ( -2a-b \right )}{2a} = 2a 
\end{matrix}\right.}
      Φυσικά, τις δύο τελευταίες περιπτώσεις μπορούμε να τις ενώσουμε λόγω του \pm στο τύπο των ριζών.

Θανάση, επιβεβαιώνεις; Έχω χάσει τίποτα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απλή παραμετρική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Απρ 26, 2019 10:27 am

Η διάκριση που κάνεις στο τέλος Αποστόλη είναι αχρείαστη καθώς περιλαμβάνεται στον τύπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αν a+2b=0 η διπλή ρίζα υπολογίζεται περεταίρω.

Επίσης αν ζητήσουμε την διακρινουσα θετική τότε οι ρίζες μπορούν (μάλλον πιο εύκολα) να βρεθούν με τους τύπους του Vieta.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3997
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Απλή παραμετρική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 26, 2019 10:53 am

Έχω κάνει ορισμένα λαθάκια . Θα τα διορθώσω λίγο αργότερα μιας και έχω βγει στην αγορά! Θανάση ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3997
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Απλή παραμετρική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 26, 2019 9:50 pm

Επανορθώνω!

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 26, 2019 9:54 am
KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 26, 2019 8:45 am
\bigstar Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών a,b , λύστε την εξίσωση :

\displaystyle{ax^2+(b-2a)x-2b=0 \quad (1)}
  • Αν a=0 τότε η (1) είναι η πρωτοβάθμια bx = 2b. Συνεπώς:
    • Αν b=0 τότε η (1) είναι αόριστη.
    • Αν b \neq 0 τότε η (1) έχει μοναδική λύση τη x=2.
  • Αν a \neq 0 τότε η (1) είναι δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

    \displaystyle{\Delta = \left (b-2a \right )^2+4 \cdot 2 \cdot ba = b^2-4ab +4a^2 +8ab = b^2+4ab+4a^2 = \left ( 2a+b \right )^2
    Συνεπώς οι ρίζες τις εξίσωσης είναι:

    \displaystyle{x_{1, 2} = \frac{2a-b\pm \sqrt{\left ( 2a+b \right )^2}}{2a}= \frac{2a-b\pm \left | 2a+b \right |}{2a}}
    Τότε :
    • Αν 2a+b=0 τότε \Delta=0 και κατά συνέπεια η (1) έχει διπλή λύση την x=\frac{2a-b}{2a}=\frac{2a+2a}{2a}=2.
    • Αν 2a+b \neq 0 τότε η (1) έχει δύο διακεκριμένες ρίζες οι οποίες δίδονται του τύπου

      \displaystyle{x_{1, 2} = \frac{2a-b  \pm (2a + b)}{2a}}


      ή ισοδύναμ:

      \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
x_1 & = & \dfrac{2a-b+\left ( 2a+b \right )}{2a} = 2\\\\ 
x_2 & = &  \dfrac{2a-b-\left ( 2a+b \right )}{2a} = -\dfrac{b}{a} 
\end{matrix}\right.}
Θανάση, επιβεβαιώνεις; Έχω χάσει τίποτα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1693
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Απλή παραμετρική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Απρ 27, 2019 10:29 am

a x^2+(b-2a)x-2b=0\Leftrightarrow (x-2)(ax+b)=0\Leftrightarrow x=2\vee ax+b=0 όπου το το τελευταίο αναπτύσσεται στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες