Απλή παραμετρική

KARKAR · #1

$\bigstar$ Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών a,b

, λύστε την εξίσωση :

ax^2+(b-2a)x-2b=0

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 26, 2019 8:45 am
$\bigstar$ Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών , λύστε την εξίσωση :

$\displaystyle{ax^2+(b-2a)x-2b=0 \quad (1)}$

Αν τότε η είναι η πρωτοβάθμια . Συνεπώς:
- Αν τότε η είναι αόριστη.
- Αν $b \neq 0$ τότε η έχει μοναδική λύση τη .
Αν τότε η είναι δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

$\displaystyle{\Delta = \left (b-2a \right )^2+4 \cdot 2 \cdot ba = b^2-4ab +4a^2 +8ab = b^2+4ab+4a^2 = \left ( 2a+b \right )^2\geq 0}$
Συνεπώς οι ρίζες τις εξίσωσης είναι:

$\displaystyle{x_{1, 2} = \frac{2a-b\pm \sqrt{\left ( 2a+b \right )^2}}{2a}= \frac{2a-b\pm \left | 2a+b \right |}{2a}}$
Τότε :
- Αν τότε $\Delta=0$ και κατά συνέπεια η έχει διπλή λύση την $x=\frac{2a-b}{2a}$ .
- Αν τότε οπότε η έχει δύο διακεκριμένες ρίζες τις:
  
  $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x_1 & = & \dfrac{2a-b+\left ( 2a+b \right )}{2a} = 2a\\\\ x_2 & = & \dfrac{2a-b-\left ( 2a+b \right )}{2a} = -\dfrac{b}{a} \end{matrix}\right.}$
- Αν τότε οπότε η έχει δύο διακεκριμένες ρίζες τις:
  
  $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x_1 & = & \dfrac{2a-b+\left ( -2a-b \right )}{2a} = -\dfrac{b}{a}\\\\ x_2 & = & \dfrac{2a-b-\left ( -2a-b \right )}{2a} = 2a \end{matrix}\right.}$
  Φυσικά, τις δύο τελευταίες περιπτώσεις μπορούμε να τις ενώσουμε λόγω του $\pm$ στο τύπο των ριζών.

Θανάση, επιβεβαιώνεις; Έχω χάσει τίποτα;

Christos.N · #3

Η διάκριση που κάνεις στο τέλος Αποστόλη είναι αχρείαστη καθώς περιλαμβάνεται στον τύπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αν a+2b=0

η διπλή ρίζα υπολογίζεται περεταίρω.

Επίσης αν ζητήσουμε την διακρινουσα θετική τότε οι ρίζες μπορούν (μάλλον πιο εύκολα) να βρεθούν με τους τύπους του Vieta.

Tolaso J Kos · #4

Έχω κάνει ορισμένα λαθάκια . Θα τα διορθώσω λίγο αργότερα μιας και έχω βγει στην αγορά! Θανάση ευχαριστώ για τις επισημάνσεις.

Tolaso J Kos · #5

Επανορθώνω!

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 26, 2019 9:54 am

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 26, 2019 8:45 am
$\bigstar$ Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών , λύστε την εξίσωση :

$\displaystyle{ax^2+(b-2a)x-2b=0 \quad (1)}$

Αν τότε η είναι η πρωτοβάθμια . Συνεπώς:
Αν τότε η είναι αόριστη.

Αν $b \neq 0$ τότε η έχει μοναδική λύση τη .

Αν $a \neq 0$ τότε η είναι δευτεροβάθμια με διακρίνουσα:

$\displaystyle{\Delta = \left (b-2a \right )^2+4 \cdot 2 \cdot ba = b^2-4ab +4a^2 +8ab = b^2+4ab+4a^2 = \left ( 2a+b \right )^2$
Συνεπώς οι ρίζες τις εξίσωσης είναι:

$\displaystyle{x_{1, 2} = \frac{2a-b\pm \sqrt{\left ( 2a+b \right )^2}}{2a}= \frac{2a-b\pm \left | 2a+b \right |}{2a}}$
Τότε :

Αν τότε $\Delta=0$ και κατά συνέπεια η έχει διπλή λύση την $x=\frac{2a-b}{2a}=\frac{2a+2a}{2a}=2$ .

Αν $2a+b \neq 0$ τότε η έχει δύο διακεκριμένες ρίζες οι οποίες δίδονται του τύπου

$\displaystyle{x_{1, 2} = \frac{2a-b \pm (2a + b)}{2a}}$

ή ισοδύναμ:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x_1 & = & \dfrac{2a-b+\left ( 2a+b \right )}{2a} = 2\\\\ x_2 & = & \dfrac{2a-b-\left ( 2a+b \right )}{2a} = -\dfrac{b}{a} \end{matrix}\right.}$