Άρρητη εξίσωση

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Άρρητη εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm

Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι \displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}.Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το \displaystyle A = \Re . Για κάθε  \displaystyle x \epsilon \Re ισχύει:

\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}. Με την ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1.

\displaystyle  (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} =  (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}. Με τη ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1 Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?


Καλό Καλοκαίρι!

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2510
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άρρητη εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 11, 2019 8:56 pm

angvl έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι \displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}.Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το \displaystyle A = \Re . Για κάθε  \displaystyle x \epsilon \Re ισχύει:

\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}. Με την ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1.

\displaystyle  (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} =  (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}. Με τη ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1 Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Η εξίσωση στην ουσία δεν είναι άρρητη.
Θέτοντας t=\sqrt[3]{x^{2}} είναι μια πολυωνυμική τριτοβάθμια.

Η μέθοδος που χρησιμοποιείς για να βρεις τις ρίζες δεν σου εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Θα έλεγα δεν είναι καν μέθοδος.
Θα μπορούσες να βρεις την λύση x^{2}=1
με το μάτι.
Θα είχε νόημα και θα εξασφάλιζε μοναδικότητα αν η μία ανισότητα ηταν ανάποδα.

Για την λύση.
Κάνε τον μετασχηματισμό που έγραψα στην αρχή .
Η εξίσωση έχει προφανώς λύση το t=1.
Μετα τα πράγματα είναι εύκολα.
Πράγματι θα βρεθούν σαν ρίζες αυτές που έγραψες.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άρρητη εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 11, 2019 9:27 pm

angvl έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι \displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}.Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το \displaystyle A = \Re . Για κάθε  \displaystyle x \epsilon \Re ισχύει:

\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}. Με την ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1.

\displaystyle  (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} =  (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}. Με τη ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1 Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τυχαίνει οι \pm 1, και μόνον αυτές, να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αλλά ο συλλογισμός δεν εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι μόνον αυτές.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Θέλεις να λύσεις μία εξίσωση της μορφής f(x)=g(x). Παρατηρείς ότι για κάποια άλλη συνάρτηση τύπου h(x) ισχύει f(x)\ge h(x) με ισότητα όταν  x=1 \vee x = -1, και επίσης ισχύει g(x)\ge h(x) με ισότητα όταν  x=1 \vee x = -1. Από εκεί θέλουμε δούμε κατά πόσο αληθεύει το συμπέρσαμα ότι η ρίζες της αρχικής είναι μόνο οι  x=1 \vee x = -1.

Δυστυχώς τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύει. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι πέρα από τις \pm 1 έχουμε και την ρίζα x=0, που το παραπάνω επιχείρημα την χάνει. Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.

Άσκηση για σένα: Βρες παράδειγμα συναρτήσεων f,g,h όπου για τα ζεύγη f,h και g,h ισχύουν ακριβώς τα παραπάνω αλλά η f(x)=g(x) έχει 100 ακόμη ρίζες, πέρα από τις \pm 1.
Συνημμένα
treis sinartiseis.png
treis sinartiseis.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Άρρητη εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Αύγ 11, 2019 9:52 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 8:56 pm
angvl έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι \displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}.Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το \displaystyle A = \Re . Για κάθε  \displaystyle x \epsilon \Re ισχύει:

\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}. Με την ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1.

\displaystyle  (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} =  (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}. Με τη ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1 Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Η εξίσωση στην ουσία δεν είναι άρρητη.
Θέτοντας t=\sqrt[3]{x^{2}} είναι μια πολυωνυμική τριτοβάθμια.

Η μέθοδος που χρησιμοποιείς για να βρεις τις ρίζες δεν σου εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
Θα έλεγα δεν είναι καν μέθοδος.
Θα μπορούσες να βρεις την λύση x^{2}=1
με το μάτι.
Θα είχε νόημα και θα εξασφάλιζε μοναδικότητα αν η μία ανισότητα ηταν ανάποδα.

Για την λύση.
Κάνε τον μετασχηματισμό που έγραψα στην αρχή .
Η εξίσωση έχει προφανώς λύση το t=1.
Μετα τα πράγματα είναι εύκολα.
Πράγματι θα βρεθούν σαν ρίζες αυτές που έγραψες.
Ευχαριστώ κ.Σταύρο οπως πάντα για την άμεση απάντηση! Οπως έγραψα στην αρχή η άσκηση είναι αρκετά απλή την εχω λύσει ήδη με δύο τρόπους και ο ένας ήταν με την αντικατάσταση που προτείνετε! Απλά έκανα αυτή την παρατήρηση(δεν είπα ότι είναι μέθοδος) μήπως μπορώ να φτάσω στο αποτέλεσμα κατά αυτόν τον τρόπο!


Καλό Καλοκαίρι!
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Άρρητη εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Αύγ 11, 2019 9:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 9:27 pm
angvl έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 5:58 pm
Καλησπέρα . Εχω μια ερώτηση σχετικά με την παρακάτω εξίσωση. Γνωρίζω πως λύνεται είναι αρκετά απλή, αλλά σκεφτόμουν αν γίνεται καταλήξω στα σωστά αποτελέσματα οπως θα γράψω παρακάτω.Η εξίσωση είναι \displaystyle \boxed{9x^2 +18 = (\sqrt [3]{x^2} +2)^3}.Tο σύνολο ορίσμου της εξίσωσης είναι το \displaystyle A = \Re . Για κάθε  \displaystyle x \epsilon \Re ισχύει:

\displaystyle 9x^2 + 18 = 9x^2 + 9 + 9 \geq 3 \sqrt[3]{9^3x^2}=27\sqrt[3]{x^2}. Με την ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle 9x^2=9 \Rightarrow x=1 \vee x = -1.

\displaystyle  (\sqrt [3]{x^2} +2)^3} =  (\sqrt [3]{x^2} +1+1)^3} \geq (3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^2}})^3=27\sqrt[3]{x^2}. Με τη ισότητα να ισχύει όταν \displaystyle \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \vee x = -1 Απο εδώ και μετά είναι το πρόβλημα μου . Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι αυτές οι ρίζες είναι μοναδικές? Ή σε αυτή την άσκηση δεν "βολεύει" να γίνει αυτό?
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τυχαίνει οι \pm 1, και μόνον αυτές, να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αλλά ο συλλογισμός δεν εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι μόνον αυτές.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Θέλεις να λύσεις μία εξίσωση της μορφής f(x)=g(x). Παρατηρείς ότι για κάποια άλλη συνάρτηση τύπου h(x) ισχύει f(x)\ge h(x) με ισότητα όταν  x=1 \vee x = -1, και επίσης ισχύει g(x)\ge h(x) με ισότητα όταν  x=1 \vee x = -1. Από εκεί θέλουμε δούμε κατά πόσο αληθεύει το συμπέρσαμα ότι η ρίζες της αρχικής είναι μόνο οι  x=1 \vee x = -1.

Δυστυχώς τέτοιο συμπέρασμα δεν ισχύει. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι πέρα από τις \pm 1 έχουμε και την ρίζα x=0, που το παραπάνω επιχείρημα την χάνει. Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά.

Άσκηση για σένα: Βρες παράδειγμα συναρτήσεων f,g,h όπου για τα ζεύγη f,h και g,h ισχύουν ακριβώς τα παραπάνω αλλά η f(x)=g(x) έχει 100 ακόμη ρίζες, πέρα από τις \pm 1.
Ευχαριστώ κ. Μιχάλη! Θα την κοιτάξω την άσκηση που λέτε!


Καλό Καλοκαίρι!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άρρητη εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 17, 2019 1:14 am

angvl έγραψε:
Κυρ Αύγ 11, 2019 9:53 pm
Θα την κοιτάξω την άσκηση που λέτε!
angvl, καμιά πρόοδος εδώ;


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Άρρητη εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Σάβ Αύγ 17, 2019 8:08 am

Καλημέρα κ.Μιχάλη! Νομίζω βρήκα τρείς με παραπάνω απο 100 ρίζες mε την βοήθεια του geogebra :P .

\displaystyle f(x) = |\sin (x^2-1)| , g(x) = |\sin (x^4-1)| , h(x) = 0
test.png
test.png (83.8 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άρρητη εξίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 17, 2019 9:34 am

angvl έγραψε:
Σάβ Αύγ 17, 2019 8:08 am
Νομίζω βρήκα τρείς με παραπάνω απο 100 ρίζες mε την βοήθεια του geogebra :P .
Καλή η προσπάθεια αλλά δυστυχώς το παράδειγμά σου έχει πολλά προβλήματα: Πρώτον θέλουμε η
εξίσωση f(x)=g(x) να έχει ακριβώς 100 ρίζες πέρα από τις \pm 1. Δεύτερον
δεν έδειξες ότι οι εξισώσεις f(x)=h(x), g(x)=h(x) έχουν ρίζες μόνο τις \pm 1.

Η άσκηση είναι αρκετά απλή, και το σχήμα που έδωσα είναι αρκετός οδηγός για την επίλυση της. Το γεγονός
ότι ψάχνεις συναρτήσεις με τύπο, είναι ο λάθος δρόμος.

Κάνε άλλη μία προσπάθεια.


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Άρρητη εξίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Σάβ Αύγ 17, 2019 3:13 pm

Καλησπέρα κ. Μιχάλη!

'Εστω \displaystyle f : [-2,102] \to R , \displaystyle g :[-2,102] \to R και \displaystyle h(x) = 0 συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν :

\displaystyle f(x) > g(x) > h(x) για κάθε  \displaystyle x \in [-2,-1) \cup (-1,0) \cup (0,1) \cup (1,2) \cup ..(101,102) και

\displaystyle f(-1)=g(-1)=h(-1)=f(1)=g(1)=h(1)=0 και

\displaystyle y_{2},y_{3},..y_{102} θετικοί αριθμοί που ανήκουν στο \displaystyle (f(A) \cap g(B)) όπου Α και Β τα πεδία ορισμού των \displaystyle f,g για τους οποίους ισχύει

\displaystyle f(2)=g(2)=y_{2}, f(3)=g(3) = y_{3},...,f(102)=g(102)=y_{102}}.

Τότε για τις συναρτήσεις \displaystyle f,g,h νομίζω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις που θέσατε!


Καλό Καλοκαίρι!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άρρητη εξίσωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 17, 2019 10:36 pm

:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες