Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Ιστοσελίδα · #1

Από σχολικές μου σημειώσεις με υπόμνηση ότι πρόκειται για άσκηση του Π.Τόγκα .
Στην προσπάθειά μας(;) να απλουστευτούν τα πραγμάτα, έχουν ξεχαστεί πολλές από τις δυνατότητες που δίνει η άλγεβρα για την επίλυση προβλημάτων και έτσι πολλά, όπως το επόμενο, θεωρούνται και εξετάζονται ως συναρτήσεις. Το ίδιο έχει συμβεί και με τη Γεωμετρία, απλά σε μεγαλύτερο εύρος...

Έτσι αυτή η άσκηση δεν είναι στη λογικής της σημερινής «άλγεβρας», αλλά μπορεί να λυθεί με αυτήν.

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης: $A=\frac{x-1}{x^2 - 5x + 6}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Σωτήρη καλησπέρα και Χρόνια Πολλά.

Είναι γεγονός ότι οι δυνατότητες που δίνουν τα εργαλεία των συναρτήσεων διευκολύνουν πολύ τη μελέτη προβλημάτων "μεγίστων- ελαχίστων" πολλών παραστάσεων όπως οι ρητές και ειδικότερα όταν έχουν ρίζες στον παρονομαστή.

Περιγράφω τη πιο δημοφιλή μέθοδο μελέτης ακροτάτων με αλγεβρικά εργαλεία (Μέθοδος Διακρίνουσας).

polysot έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 6:22 pm
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης: $A=\frac{x-1}{x^2 - 5x + 6}$ .

Η παράσταση ορίζεται όταν $\displaystyle x \ne 2\;\; \wedge \;\;x \ne 3$

Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός

, ώστε για κάθε $\displaystyle x \in R - \left\{ {2,3} \right\}$ να είναι
$\displaystyle \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} = m \Leftrightarrow m{x^2} - \left( {5m + 1} \right)x + 6m + 1 = 0$ (1).

Αν είναι m = 0

, τότε

.

Για $\displaystyle m \ne 0$ η (1) έχει διακρίνουσα $\displaystyle D = {\left( {5m + 1} \right)^2} - 4m\left( {6m + 1} \right) = {m^2} + 6m + 1.$
Για να έχει πραγματικές ρίζες η (1), πρέπει $\displaystyle {m^2} + 6m + 1 \ge 0$ δηλαδή $\displaystyle m \le - 3 - 2\sqrt 2$ ή $\displaystyle m \ge - 3 + 2\sqrt 2$ .

Οπότε η τιμή $\displaystyle - 3 - 2\sqrt 2$ είναι ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης και η τιμή $\displaystyle - 3 + 2\sqrt 2$ ένα τοπικό ελάχιστο.

Η παράσταση προφανώς δεν έχει (ολικά) ακρότατα.

Η αδυναμία της μεθόδου αυτής έγκειται στο ότι δεν μελετά το Σύνολο Τιμών των συναρτήσεων, όπως εδώ που έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Επίσης θα πρέπει να λάβουμε υπόψιν τη σύγχυση που επικρατούσε στη διάκριση Ολικών και Τοπικών ακροτάτων.
Π.χ. στο παρακάτω (του ιδίου συγγραφέα) το ακρότατο που εντοπίζεται είναι τοπικό και όχι ολικό.

: 01-01-2020 Άλγεβρα β.jpg (131.33 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Δες κι εδώ θέματα από Γαλλικές εξετάσεις του 19ου αιώνα όπου επίσης αναφέρονται "μέγιστα κι ελάχιστα" ενώ προφανώς εννοείται "τοπικά ακρότατα".

: 01-01-2020 Άλγεβρα.jpg (137.44 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

panagiotis iliopoulos · #4

Έχει δίκιο ο Ορέστης. Η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο και τοπικό μέγιστο.

#5

Κάποια επιπλέον στοιχεία σχετικά με το θέμα δείτε ΕΔΩ, όπου γίνεται αναφορά στους ορισμούς των ακροτάτων της εποχής, καθώς και στον Ευκλείδη Γ΄, τεύχος 91, 2019 σσ.1-53. (Είναι το "τρέχον" τεύχος, το οποίο δεν ξέρω αν έχει τυπωθεί και αν κυκλοφορεί), σε σχετικό άρθρο που υποβάλαμε με τον Γιάννη Θωμαΐδη, με τίτλο:

Εγγενείς δυσκολίες στον προσδιορισμό ακροτάτων: Μια μελέτη σε ελληνικά βιβλία στοιχειώδους Άλγεβρας του 20ου αιώνα

KARKAR · #6

Ας αξιοποιήσουμε την τεχνική για την : $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3x+6}$

#7

Καλησπέρα!

Συμπτωματικά, αυτή ακριβώς κοιτούσα $\displaystyle \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 3x - 3}}$ λίγο πριν την ανεβάσει ο Γιώργος Ρίζος.

Παρατηρώ ότι στη λύση της ανίσωσης γράφει $\displaystyle \mu \le \frac{1}{7}$ ΚΑΙ $\displaystyle \mu \ge \frac{1}{3}$ πράγμα που δεν ισχύει γιατί ανάμεσα στις τιμές

έπρεπε να υπάρχει το διαζευκτικό "ή" και όχι ο συμπλεκτικός σύνδεσμος "και" που παραπέμπει στην εσφαλμένη σχέση

$\displaystyle \frac{1}{3} \le \mu \le \frac{1}{7}$

Ορέστης Λιγνός · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 7:46 pm
Ας αξιοποιήσουμε την τεχνική για την : $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3x+6}$

Είναι :

$\bullet$ $g(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{(x-3)^2}{3x^2-9x+18} \leqslant \dfrac{1}{3}$ , και αυτή η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για x=3

.

$\bullet$ $g(x)=\dfrac{-1}{5}+\dfrac{(x+1)^2}{5x^2-15x+30} \geqslant \dfrac{-1}{5}$ , και αυτή η ελάχιστη τιμή λαμβάνεται για x=-1

.

Έτσι, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης βρέθηκαν

#9

Ας δούμε και την παλιά μέθοδο που αναφέρεται πιο πάνω.

$\displaystyle y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3x + 6}} \Leftrightarrow y{x^2} - (3y + 1)x + 6y + 1 = 0,$ που είναι για $y\ne 0$ δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

και για να έχει πραγματικές λύσεις θα πρέπει $\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 15{y^2} + 2y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{5} \le y \le \frac{1}{3},$ κλπ.

#10

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 8:11 pm
Ας δούμε και την παλιά μέθοδο που αναφέρεται πιο πάνω.

$\displaystyle y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3x + 6}} \Leftrightarrow y{x^2} - (3y + 1)x + 6y + 1 = 0,$ που είναι για $y\ne 0$ δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς και για να έχει πραγματικές λύσεις θα πρέπει $\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 15{y^2} + 2y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{5} \le y \le \frac{1}{3},$ κλπ.

Ας μού επιτρέψει ο Γιώργος μια συμπλήρωση:

Τη λύση αυτή χρησιμοποιούσαν εκείνα τα χρόνια. Να επαναλάβω, όμως, ότι δεν γίνεται διάκριση σε ολικό ή τοπικό ακρότατο. Εδώ είναι ολικά τα ακρότατα, όπως κομψά έδειξε ο Ορέστης παραπάνω. Όμως στο προηγούμενο παράδειγμα ήταν τοπικά.

Τη διάκριση αυτή, φαντάζομαι, επιζητούσε ο Θανάσης με το επιπλέον παράδειγμα.

Δείτε στο συνημμένο (από γαλλικό βιβλίο 1907, με 1η εκδοση 1875), πολύ πριν τους δικούς μας συγγραφείς: Γράφοντας maximum και minimum εννοούν τοπικό κι όχι απαραίτητα ολικό, δίχως όμως να αποκλείεται να είναι και ολικό...

: 01-01-2020 Άλγεβρα γ.jpg (84.95 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές

Ιστοσελίδα · #11

Αυτό το

δεν παίζεται!
Βάζεις κάτι που βρήκες και σε εντυπωσίασε, βγαίνεις για μία ωρίτσα για τηλέφωνα και γυρνάς και βρίσκεις πλήρη ιστορική ανασκόπηση του θέματος! Γιώργο Ρίζο ευχαριστούμε

Το θέμα αυτό που ανέβασα, το βρήκα σε τετράδιό μου Α΄λυκείου, που μας το είχε κάνει ο Μαθηματικός στο σχολείο αναφέροντας τη λύση με τη διακρίνουσα που γράφηκε παραπάνω. Διευκρινίζει στο τέλος ότι πρόκειται για ακρότατα τοπικά, όπως είχα σημειώσει ως μαθητής, στα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Στη συνέχεια, μετά την ανάπτυξη της μεθόδου θα έβαζα ως παράδειγμα μία συνάρτηση που εμφανίζεται στο σημερινό βιβλίο της Γ΄λυκείου και μπορεί να βρεθεί για αυτήν το ολικό ακρότατό της $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x}}$ είτε εφαρμόζοντας την ίδια μέθοδο με αυτήν της διακρίνουσας που περιγράφεται παραπάνω, είτε παρατηρώντας απλά ότι έχει ελάχιστο το

και αποδεικνύοντας εύκολα ότι $\frac{x+1}{\sqrt{x}} \geq 2= f(1), \forall x>0$ .

Το άρθρο του Ευκλείδη μου είχε ξεφύγει Γιώργο. Θα ψάξω να το βρω...

#12

Σωτήρη, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Ας δώσω μερικές επιπλέον πληροφορίες:

1. Το θέμα 825 του Π. Τόγκα στο οποίο αναφέρθηκε και ο Γιώργος Βισβίκης παραπάνω ήταν θέμα εισαγωγικών εξετάσεων στη Σχολή Saint Etienne το .... 1872.

Στη λύση τους μοναχοί της Χριστιανικής Αδελφότητας (FIC) στο βιβλίο Elements d Algebre, έκδοση 1875 στο Μόντρεαλ βάζουν σωστά το διαζευκτικό σύνδεσμο στις ανισώσεις: (ou) κι όχι (et). Επίσης στην έκδοση του 1907, στο Παρίσι καταγράφουν λεπτομερώς το Πεδίο ορισμού της συνάρτησης χρησιμοποιώντας μια μορφή, θα έλεγα, οριακών τιμών, κάτι το πρωτοποριακό για την εποχή τους, δίχως να χρησιμοποιούν στοιχεία Συναρτησιακού Λογισμού. Βεβαίως, στη βιβλιογραφία της εποχής είναι γνωστές οι μέθοδοι μελέτης ακροτάτων με τη χρήση παραγώγων. Π.χ. ο J. Bertrand στο Traite de algebre, τόμος 2ος, Παρίσι, 1870 χρησιμοποιεί κριτήριο 2ης παραγώγου για ακρότατα ρητών (δευτεροβάθμιων) παραστάσεων. Bέβαια, ο J. Bertand ήταν καθηγητής στην Πολυτεχνική Σχολή του Παρισιού και προφανώς οι παράγωγοι ήταν αντικείμενο σπουδών πανεπιστημιακού επιπέδου.

Στη γαλλική βιβλιογραφία της εποχής περιγράφεται η εξής μέθοδος (την αποδίδω "ελεύθερα", ερμηνεύνοντας το νόημά της) :
Όταν η συνθήκη $\displaystyle D \ge 0$ μάς οδηγήσει σε μια ανίσωση της μορφής $\displaystyle a \le f\left( x \right) = m \le b$ , και υπάρχουν x_1, x_2

στο Π.Ο. της ώστε f(x_1) = a, f(x_2)=b

, τότε αφού η μεταβλητή

μπορεί να πάρει οποιανδήποτε τιμή στο $\displaystyle \left[ {a,\;b} \right]$ , τότε το διάστημα $\displaystyle \left[ {a,\;b} \right]$ είναι το σύνολο τιμών της παράστασης, οπότε έχουμε εντοπίσει τα ολικά ακρότατά της.

Πάντως, δίχως την παραπάνω μέθοδο, αφού εντοπίσουμε τα ακρότατα, που δεν ξέρουμε αν είναι τοπικά ή ολικά, μπορούμε να κάνουμε το εξής (περίπου σαν τη μέθοδο του Ορέστη):

Αφού τα κλάσματα είναι θετικά, έχουμε:

$\displaystyle \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3x + 6}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3x - 3 \le {x^2} - 3x + 6 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ , που ισχύει με το ίσον όταν x = 3

Επίσης, είναι

$\displaystyle \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3x + 6}} \ge - \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 3x + 6}} + \frac{1}{5} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 3x + 6}} \ge 0$ , που ισχύει, με το ίσον όταν x = -1

Ενώ π.χ. στο παράδειγμα του Π.Τόγκα θα ήταν

$\displaystyle \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 3x - 3}} \le \frac{1}{7} \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 3x - 3}} - \frac{1}{7} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} - 3x - 3}} \ge 0$ .

Προφανώς υπάρχουν

στο Π.Ο. της παράστασης για τα οποία δεν ισχύει. Για παράδειγμα, βλέπουμε ότι δεν ισχύει για x = 0

. Άρα το $\displaystyle \frac{1}{7}$ δεν είναι ολικό μέγιστο.

2. Το αρχικό θέμα που ανάρτησες, υπάρχει στο βιβλίο του Π. Τόγκα "Μέγιστα και ελάχιστα αλγεβρικών παραστάσεων" (1934), στο οποίο αναφερθήκαμε εκτενώς στο άρθρο "Όψεις της Ελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης στα χρόνια του Μεσοπολέμου: Επικίνδυνες ακροβασίες για τον εντοπισμό ακροτάτων στη στοιχειώδη Άλγεβρα" στον σύνδεσμο που δίνεται παραπάνω. Είναι το πρόβλημα 3, στη σελίδα 8.

3. Για το θέμα που αναφέρεις

polysot έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 9:29 pm

Στη συνέχεια, μετά την ανάπτυξη της μεθόδου θα έβαζα ως παράδειγμα μία συνάρτηση που εμφανίζεται στο σημερινό βιβλίο της Γ΄λυκείου και μπορεί να βρεθεί για αυτήν το ολικό ακρότατό της $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x}}$ είτε εφαρμόζοντας την ίδια μέθοδο με αυτήν της διακρίνουσας που περιγράφεται παραπάνω, είτε παρατηρώντας απλά ότι έχει ελάχιστο το και αποδεικνύοντας εύκολα ότι $\frac{x+1}{\sqrt{x}} \geq 2= f(1), \forall x>0$ .

Στη βιβλιογραφία της εποχής ζητούνταν ΜΟΝΟ το ελάχιστο και λυνόταν ως εξής:

Είναι $\displaystyle f(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}$ με x > 0

.

Επειδή το γινόμενό τους είναι σταθερό, θα έχουν ελάχιστο άθροισμα όταν γίνουν ίσοι, (αν μπορεί να γίνουν ίσοι).

Για x > 0

είναι $\displaystyle \sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ , οπότε η f(x)

έχει ελάχιστο το

.

Το τεύχος 91 του Ευκλείδη Γ , Ιούλιος-Δεκέμβριος 2019, ούτε εγώ το έχω... Απλά πληροφορήθηκα ότι είναι έτοιμο προς εκτύπωση.

Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση