Σελίδα 1 από 1

Νεότερο κλάσμα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 27, 2020 9:41 am
από KARKAR
\bigstar Αν : \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{3} και \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{4}{9} , υπολογίστε

την τιμή του : \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2} , χωρίς να βρείτε τους x, y .

Το \dfrac{4}{7} έγινε \dfrac{4}{9} , ώστε τα x,y να είναι πραγματικοί , αν και αυτό δεν είναι απαραίτητο

για την εύρεση του τελευταίου αθροίσματος ( Υπόδειξη Γιώργου Βισβίκη )

Re: Νεότερο κλάσμα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μαρ 29, 2020 10:25 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 9:41 am
\bigstar Αν : \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{3} και \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{4}{9} , υπολογίστε

την τιμή του : \dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2} , χωρίς να βρείτε τους x, y .
\boxed{\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{y + 2}} = \frac{{x + y + 4}}{{xy + 2(x + y) + 4}}} (1)

Από την υπόθεση: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 3(x + y) = 2xy\\ 
\\  
\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{y + 1}} = \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow 5(x + y) = 4xy - 14  
\end{array} \right., και με απαλοιφή του xy βρίσκω

x+y=14, οπότε xy=21. Αντικαθιστώντας τώρα στην (1), \boxed{\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{y + 2}} = \frac{{18}}{{53}}}


KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 27, 2020 9:41 am
Το \dfrac{4}{7} έγινε \dfrac{4}{9} , ώστε τα x,y να είναι πραγματικοί , αν και αυτό δεν είναι απαραίτητο

για την εύρεση του τελευταίου αθροίσματος ( Υπόδειξη Γιώργου Βισβίκη )
Οπωσδήποτε δεν είναι απαραίτητο για το τελικό αποτέλεσμα. Αν όμως κάποιος μαθητής της Α' Λυκείου, θέλει

να επαληθεύσει το αποτέλεσμα που βρήκε και αναζητήσει τους αριθμούς x, y δεν θα βρεθεί σε αδιέξοδο; Θα

διαπιστώσει ότι οι αριθμοί αυτοί (σύμφωνα με τις γνώσεις του) δεν υπάρχουν, γεγονός που ακυρώνει την υπόθεση.