Νέες παραστάσεις

KARKAR · #1

$\bigstar$ Α) Για τους θετικούς αριθμούς a , b

, δείξτε ότι ισχύει : $a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $S(x)=3x+\dfrac{8}{x} , x>0$

Γ) Αν : S(x)=10

, βρείτε την τιμή της παράστασης : $T(x)=\dfrac{7x}{6x^2-13x+16}$ .

Δ) Βρείτε την μέγιστη τιμή της T(x) ....

( δύσκολο αλλά όχι απρόσιτο ! )

angvl · #2

Το A) αλγεβρικά βγαίνει πολύ εύκολα.Θα το δείξω γεωμετρικά.Εστω ένα ημικύκλιο ακτίνας

και

τυχαίο

σημείο πάνω στο ημικύκλιο όπως στο παρακάτω σχήμα. Το τρίγωνο FZH

είναι ορθογώνιο και έστω

τo ύψος του στην υποτείνουσα.Απ την ομοιότητα των τριγώνων FZG

και

προκύπτει ότι ZG^2=FG GH

άρα :

$\displaystyle x^2=a b \Rightarrow x = \sqrt{ab}$
$\displaystyle a+b=2R$ και $\displaystyle R \ge x \Rightarrow \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

: AM-GM.png (53.99 KiB) Προβλήθηκε 1552 φορές

B)
$\displaystyle 3x+\frac{8}{x} \ge 2\sqrt{3x\frac{8}{x}} = 4\sqrt{6} \Rightarrow S_{min} = 4\sqrt{6}$

Γ)
Με $x\ne 0$ είναι $\displaystyle T(x) = \frac{7}{6x-13+\frac{16}{x}} = \frac{7}{2(3x+\frac{8}{x})-13} = \frac{7}{2S(x)-13}=1$

Δ)
Από το Γ) είναι $\displaystyle T(x) = \frac{7}{2S(x)-13}$ . Αν αντικαταστήσουμε το S(x)

με την ελάχιστη τιμή του που βρήκαμε στο Α) ερώτημα τότε ο παρονομαστής του T(x)

θα μειωθεί και θα πάρει την ελάχιστη τιμή του, άρα το T(x)

θα μεγιστοποιηθεί. Συνεπώς

$\displaystyle T_{max} = \frac{7}{2S_{min}-13}=\frac{7}{8\sqrt{6}-13}=\frac{7(8\sqrt{6}+13)}{215}$

#3

αλλά κάτι μικρό λείπει εδώ:

angvl έγραψε: Τρί Απρ 07, 2020 10:08 pm B)
$\displaystyle 3x+\frac{8}{x} \ge 2\sqrt{3x\frac{8}{x}} = 4\sqrt{6} \Rightarrow S_{min} = 4\sqrt{6}$

Τι;

angvl · #4

Γεια σας κ.Μιχάλη!

Μήπως εννοείτε ότι πρέπει να γράψω ότι $\displaystyle 3x>0 ,\frac{8}{x}>0$

Δεν βλέπω τώρα κάτι αλλο..

#5

Τα εύσημα κι από μένα στον μαθητή . Μου άρεσε η άσκηση, κι είχα ασχοληθεί.

Τα εύσημά μου όμως και στον θεματοδότη ( μάλλον είναι δικιά του ), την έδωσε με τέτοιο τρόπο που σε οδηγούσε στη λύση.

Είναι βεβαίως για καλούς μαθητές και μεγάλης διδακτικής αξίας .

angvl · #6

Ευχαριστώ κ.Νίκο !

Αν και δεν είμαι μαθητής εδω μέσα έτσι αισθάνομαι και μου αρέσει πολύ!

#7

angvl έγραψε: Τετ Απρ 08, 2020 12:05 am Μήπως εννοείτε ότι πρέπει να γράψω ότι $\displaystyle 3x>0 ,\frac{8}{x}>0$

Δεν βλέπω τώρα κάτι αλλο..

Όχι δεν είναι εκεί το πρόβλημα. Αυτό που λείπει είναι ότι έδειξες

$\displaystyle 3x+\frac{8}{x} \ge 2\sqrt{3x\frac{8}{x}} = 4\sqrt{6}$ , Από αυτό δεν προκύπτει $S_{min} = 4\sqrt{6}$ αλλά $S_{min} \ge 4\sqrt{6}$ .

Για να δείξεις ότι το υποψήφιο ελάχιστο πιάνεται, αρκεί να βρεις κάποια τιμή του

που δίνει ισότητα. Τέτοια είναι η $x= \dfrac{2}{3}\sqrt 6}$

angvl · #8

Εχετε δίκιο κ. Μιχάλη δεν το 'ελεγξα αυτό γιατί ξέχασα ότι το S(x)

είναι συνάρτηση. Ευχαριστώ πολύ!

Καλό βράδυ!

Νέες παραστάσεις

Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Re: Νέες παραστάσεις

Μέλη σε σύνδεση