Επίλυση και πρόοδος

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επίλυση και πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 25, 2020 12:17 pm

\bigstar Οι αριθμοί a,b , είναι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί . Να επιλυθεί

- προσεκτικά - η εξίσωση : \dfrac{x-a}{b}+\dfrac{x-b}{a}=\dfrac{b}{x-a}+\dfrac{a}{x-b}

Υπάρχει περίπτωση οι λύσεις να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επίλυση και πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 26, 2020 8:42 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Απρ 25, 2020 12:17 pm
\bigstar Οι αριθμοί a,b , είναι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί . Να επιλυθεί

- προσεκτικά - η εξίσωση : \dfrac{x-a}{b}+\dfrac{x-b}{a}=\dfrac{b}{x-a}+\dfrac{a}{x-b}

Υπάρχει περίπτωση οι λύσεις να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;
Για x\ne a, x\ne b, η εξίσωση γράφεται: \displaystyle \frac{{(a + b)x - ({a^2} + {b^2})}}{{ab}} = \frac{{(a + b)x - ({a^2} + {b^2})}}{{(x - a)(x - b)}}\displaystyle  \Leftrightarrow

\displaystyle (a + b)x = {a^2} + {b^2} ή \displaystyle (x - a)(x - b) = ab, απ' όπου παίρνουμε τις ρίζες \displaystyle {x_1} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}},{x_2} = 0,{x_3} = a + b (*)

Για να έχουμε αριθμητική πρόοδο θα πρέπει \displaystyle 2{x_1} = {x_2} + {x_3} ή \displaystyle 2{x_2} = {x_1} + {x_3} ή \displaystyle 2{x_3} = {x_1} + {x_2}

Οι τρεις αυτές σχέσεις δίνουν αντίστοιχα \displaystyle {(a - b)^2} = 0,{a^2} + {b^2} + {(a + b)^2} = 0,{a^2} + {b^2} + 4ab=0 και

καταλήγουν σε άτοπο αφού a,b>0, a\ne b, άρα δεν μπορεί οι ρίζες της εξίσωσης να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.



(*) Αφού a,b>0, a\ne b, προφανώς \displaystyle {x_2},{x_3} είναι δεκτές ρίζες. Εξάλλου αν \displaystyle {x_1} = a \Leftrightarrow {b^2} = ab \Leftrightarrow b(a - b) = 0 που είναι άτοπο, άρα x_1\ne a και ομοίως x_1\ne b.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης