Διπλή εξίσωση

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11634
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 02, 2020 7:46 pm

α) Λύστε την εξίσωση : \dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+b}=\dfrac{8}{2x+a+b} , a , b \in \mathbb{R}

β) Λύστε την εξίσωση : \dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+b}=\dfrac{9}{2x+a+b} , a , b \in \mathbb{R}

Σημείωση : Η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές της Α' Λυκείου . Παρακαλείται λοιπόν ο λύτης

να αναρτήσει λύση λεπτομερή , σαν αυτή δηλαδή που θα προτείναμε να γράψει ο μαθητής .



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Διπλή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:26 pm

α) Η εξίσωση ορίζεται για όλους τους αριθμούς x εκτός από -a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2}.

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση, όπου a=b, οπότε η εξίσωση ορίζεται για x\neq -a και είναι η

\displaystyle{\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+a}=\dfrac{8}{2\,x+2\,a}\iff \dfrac{4}{x+a}=\dfrac{4}{x+a}} αόριστη δηλαδή εκτός του -a.

Έστω τώρα a\neq b. Έχουμε,

\begin{aligned}\dfrac{2}{x+a}+\dfrac{2}{x+b}=\dfrac{8}{2\,x+a+b}&\iff \dfrac{2\,(x+b)+2\,(x+a)}{(x+a)\,(x+b)}=\dfrac{8}{(x+a)+(x+b)}\\&\iff 2\,\left[(x+a)+(x+b)\right]^2=8\,(x+a)\,(x+b)\\&\iff 2\,(x+a)^2+2\,(x+b)^2+4\,(x+a)\,(x+b)-8\,(x+a)\,(x+b)=0\\&\iff 2\,(x+a)^2+2\,(x+b)^2-4\,(x+a)\,(x+b)=0\\&\iff 2\,[(x+a)-(x+b)]^2=0\\&\iff 0\,x=a-b \end{aligned}

και στην περίπτωση αυτή δεν έχουμε λύσεις.

β) Ομοίως, και αυτή η εξίσωση ορίζεται για όλα τα πραγματικά x εκτός των -a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2}.

Όπως και την προηγούμενη, μπορούμε να την μετρατέψουμε στην ισοδύναμή της 2\,[(x+a)+(x+b)]^2=9\,(x+a)\,(x+b).

Αν a=b (με σύνολο ορισμού για x\neq -a) τότε έχουμε την εξίσωση

2\,(2x+2\,a)^2=9\,(x+a)^2\iff 8\,(x+a)^2=9\,(x+a)^2\iff x=-a, απορρίπτεται.

Αν a\neq b, τότε η εξίσωση γίνεται -x^2-(a+b)\,x+2\,a^2+2\,b^2-5\,a\,b=0. Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα που είναι

\Delta=a^2+b^2+2\,a\,b+8\,a^2+8\,b^2-20\,a\,b=9\,a^2+9\,b^2-18\,a\,b=9\,(a-b)^2>0, και άρα οι ρίζες είναι

x=\dfrac{a+b\pm 3\,(a-b)}{-2}=b-2\,a\,\,,a-2\,b (δεκτές και οι 2 διότι καμία από αυτές δεν ισούται με κάποιο από τα -a\,,-b\,,-\dfrac{a+b}{2})


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Διπλή εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:30 pm

Καλησπέρα σε όλους.
α) Για κάθε  \displaystyle x \in R με τους περιορισμούς  \displaystyle x \ne  - a\;,\;\;x \ne  - b\;\;\; \wedge \;\;\;x \ne  - \frac{{a + b}}{2}
η εξίσωση γράφεται

 \displaystyle \frac{2}{{x + a}} + \frac{2}{{x + b}} = \frac{8}{{2x + a + b}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\left( {x + b} \right)\left( {2x + a + b} \right) + 2\left( {x + a} \right)\left( {2x + a + b} \right) = 8\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b

Οπότε η εξίσωση έχει λύση κάθε πραγματικό αριθμό  \displaystyle x \ne  - a , αν και μόνο αν a=b,

ενώ αν  \displaystyle a \ne b είναι αδύνατη.

β) Για κάθε  \displaystyle x \in R με τους περιορισμούς  \displaystyle x \ne  - a\;,\;\;x \ne  - b\;\;\; \wedge \;\;\;x \ne  - \frac{{a + b}}{2}
η εξίσωση γράφεται

 \displaystyle \frac{2}{{x + a}} + \frac{2}{{x + b}} = \frac{9}{{2x + a + b}}

 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\left( {x + b} \right)\left( {2x + a + b} \right) + 2\left( {x + a} \right)\left( {2x + a + b} \right) = 9\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} + \left( {a + b} \right)x + 5ab - 2{b^2} - 2{a^2} = 0
που έχει ρίζες  \displaystyle x = a - 2b\;\;\; \wedge \;\;\;x = b - 2a

Οπότε, για να ικανοποιούνται οι περιορισμοί, πρέπει

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
 - a \ne a - 2b\\ 
 - a \ne b - 2a 
\end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow a \ne b\;\; \wedge \;\left\{ \begin{array}{l} 
 - b \ne a - 2b\\ 
 - b \ne b - 2a 
\end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow a \ne b\; \wedge \;\left\{ \begin{array}{l} 
 - \frac{{a + b}}{2} \ne a - 2b\\ 
 - \frac{{a + b}}{2} \ne b - 2a 
\end{array} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;a \ne b

Άρα αν a = b η εξίσωση είναι αδύνατη, ενώ αν  \displaystyle a \ne b , έχει λύσεις της μορφής:

 \displaystyle x = a - 2b\;\;\; \wedge \;\;\;x = b - 2a , a, b \in R.

edit: Νομίζω, έγραψα περίπου τα ίδια με τον Ευάγγελο, που απάντησε πρώτος και με καλύτερη στοίχιση και των εξισώσεων και ήταν και πιο επεξηγηματικός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης