Σελίδα 1 από 1

Παραμετρική εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 29, 2020 12:34 pm
από george visvikis
\bigstar Η εξίσωση \displaystyle (a - 1){x^2} + (a + 1)x + a = 0 έχει ακέραιες ρίζες. Αν και ο a είναι ακέραιος,

να βρείτε τον a και τις ρίζες της εξίσωσης.

Re: Παραμετρική εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 29, 2020 1:58 pm
από Pantelis.N
Από vieta έχουμε y+z=\frac{a+1}{1-a}=\frac{(a-1)+2}{1-a}=-1+\frac{2}{1-a} όπου y,z
οι ρίζες της εξίσωσης.

Επειδή όμως οι ρίζες είναι ακέραιες, είναι και το άθροισμα των ριζών τους, συνεπώς \frac{2}{1-a} ακέραιος, άρα 1-a=1,-1,2,-2
Παράλληλα είναι yz=\frac{a}{a-1} με yz ακέραιο, άρα \frac{a}{a-1} ακέραιος.

Οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν τις σχέσεις είναι οι 2,0.

Αν a=1, άτοπο καθώς προκύπτει από τη δευτεροβάθμια ότι x=-\frac{1}{2}.

Άρα αντικαθιστώντας τον a στην εξίσωση πέρνουμε τις λύσεις για a=0 x=0,x=1
και για a=2 x=-1,x=-2.

Re: Παραμετρική εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 29, 2020 3:53 pm
από kfd
P=\frac{\alpha }{\alpha -1}\epsilon \mathbb{Z}\Leftrightarrow \alpha -1=1,-1\Leftrightarrow \alpha =0,2 τιμές που δίνουν x=0,1
και x=-1,-2.