Εξίσωση

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3287
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Σεπ 14, 2020 3:48 pm

Να λύσετε την εξίσωση:

x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Σεπ 14, 2020 5:33 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 3:48 pm
Να λύσετε την εξίσωση:

x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}
Καλησπέρα!

Για x\ge 1, \displaystyle {\left( {x - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 - 2x\sqrt {1 - \frac{1}{x}}  = x \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 2x\sqrt {1 - \frac{1}{x}}

\displaystyle {({x^2} - x + 1)^2} = 4{x^2} - 4x \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {({x^2} - x - 1)^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x \ge 1} \boxed{x=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\Phi}


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1999
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Σεπ 14, 2020 11:42 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Σεπ 14, 2020 3:48 pm
Να λύσετε την εξίσωση:

x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}
Γεια σου Μιχάλη
Ονομάζουμε την αρχική σχέση (1)
Για x>1 πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή των ριζικών και έχουμε:
x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}\Leftrightarrow x\cdot \left ( \sqrt {x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}} \right )=x-1\Leftrightarrow \sqrt {x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}=1-\frac{1}{x} (2)
Προσθέτουμε κατα μέλη τις \left ( 1 \right ),\left ( 2 \right ) και έχουμε
2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x-\frac{1}{x}+1
Αν θέσουμε τώρα \sqrt{x-\frac{1}{x}}=y προκύπτει y^{2}-2y+1=0\Leftrightarrow y=1
Άρα \sqrt{x-\frac{1}{x}}=1\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης