Παραμετρική ανίσωση

KARKAR · #1

Έστω :

. Λύστε την ανίσωση : $\dfrac{2x-k}{kx-2}\geq\dfrac{kx-2}{2x-k}$ .

Σημείωση : Άσκηση για διαγωνισμό , όχι για διαγώνισμα !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 7:32 am
Έστω : . Λύστε την ανίσωση : $\dfrac{2x-k}{kx-2}\geq\dfrac{kx-2}{2x-k}$ .

Σημείωση : Άσκηση για διαγωνισμό , όχι για διαγώνισμα !

Ο περιορισμός άμεσος από τους παρονομαστές. Τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος, κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα παραγοντοποιούμε (βολεύει να εργαστούμε με διαφορά τετραγώνων). Θα βρούμε

$\displaystyle{ \dfrac {(4-k^2)(x^2-1)}{(kx-2)(2x-k)} \ge 0}$ . Αφού 4-k^2<0

ισοδυναμεί με την $\displaystyle{ \dfrac {x^2-1}{(kx-2)(2x-k)} \le 0}$ και άρα με την

$\displaystyle{(x^2-1)(kx-2)(2x-k)\le 0}$ , Πάλι ισοδύναμα $\displaystyle{(x-1)(x+1)\left ( x-\dfrac {2}{k} \right )\left ( x-\dfrac {k}{2} \right )\le 0}$

Οι ρίζες διατάσσονται ως $\displaystyle{-1 < \dfrac {2}{k} < 1 < \dfrac {k}{2} }$ και το τέλειωμα άμεσο: $\displaystyle{x\in \left [ -1, \dfrac {2}{k} \right )\cup \left [ 1,\dfrac {k}{2} \right )}$

Joaakim · #3

ΔΙΑΓΡΑΦΉ.

#4

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Edit: Βλέποντας τη λύση του κυρίου Μιχάλη καταλαβαίνω ότι έχω διαφορετικά αποτελέσματα. Μήπως μπορείτε να μου πείτε τι έχω κάνει λάθος;

Ένα πρόβλημα είναι για παράδειγμα εδώ:

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Περίπτωση 1
και .
Τότε είναι:

Είναι όμως , οπότε πρέπει .

Συγκεκριμένα, η υπόθεσή σου |2x-k|=2x-k

προϋποθέτει $2x-k \ge 0$ και η |kx-2|=kx-2

προϋποθέτει $kx-2\le 0$ . Από εκεί και πέρα όταν λύνεις την ανίσωση για να καταλήξεις στην $x\le -1$ πρέπει να κρατήσεις μόνο εκείνα τα

που ικνοποιούν τις προϋποθέσεις (αφού τις χρησιμοποίησες). Η πρώτη για παράδειγμα απαιτεί $x\ge k/2$ , οπότε απορρίπτονται όλες οι τιμές $x\le -1$ .

Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 7:32 am
Έστω : . Λύστε την ανίσωση : $\dfrac{2x-k}{kx-2}\geq\dfrac{kx-2}{2x-k}$ .

Άλλος τρόπος αντιμετώπισης είναι: Γράφουμε $y=\dfrac{2x-k}{kx-2}$ οπότε (με περιορισμούς) η ανίσωση είναι η $y \ge \dfrac {1}{y}$ , ισοδύναμα $(y-1)y(y+1) \ge 0$ . Άρα $-1\le y\le 0$ ή $y\ge 1$ . Τώρα λύνουμε τις $-1\le \dfrac{2x-k}{kx-2} \le 0$ ή $\dfrac{2x-k}{kx-2}\ge 1$ , που είναι στάνταρ.

#6

Επανέρχομαι γιατί ξέχασα:

Και το σημείο

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε:

χρειάζεται βελτίωση. Όπως είναι, δεν είναι σωστό. Μπορείς να δεις γιατί;

Joaakim · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 11:35 am
Επανέρχομαι γιατί ξέχασα:

Και το σημείο

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε:

χρειάζεται βελτίωση. Όπως είναι, δεν είναι σωστό. Μπορείς να δεις γιατί;

Νομίζω επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο των 2x-k

και

, δεν γνωρίζουμε και την φορά που θα πάρει η ανίσωση.

#8

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 12:00 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 11:35 am
Επανέρχομαι γιατί ξέχασα:

Και το σημείο

Joaakim έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 9:55 am

Με απαλοιφή παρονομαστών παίρνουμε:

χρειάζεται βελτίωση. Όπως είναι, δεν είναι σωστό. Μπορείς να δεις γιατί;
Νομίζω επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο των και , δεν γνωρίζουμε και την φορά που θα πάρει η ανίσωση.

Σωστά. Ας δούμε την αιτία.

Έχουμε μία ανίσωση της μορφής $\dfrac {a}{b} \ge \dfrac {b}{a}$ . Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί τον θετικό a^2b^2

(όχι επί

που

φαίνεται να έκανες). Θα πάρουμε $a^3b\ge ab^3$ , ισοδύναμα $ab(a^2-b^2) \ge 0$ αντί του $a^2-b^2 \ge 0$ που γράφεις. Οπότε οι δύο παραπάνω

όροι $a,\,b$ επειρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα.

Παραμετρική ανίσωση

Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Re: Παραμετρική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση