Εξίσωση

User#0000 · #1

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Z}$ .

Να λυθεί η εξίσωση:

x+f(x)=xf(x)

.

#2

nikhtas30 έγραψε: ↑
Παρ Απρ 23, 2021 6:21 pm
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Z}$ .

Να λυθεί η εξίσωση:

.

Για δοθείσα $f:\mathbb{Z^+}\rightarrow \mathbb{Z}$ , όποια και αν είναι αυτή, αποκλείεται η x=1

να είναι ρίζα (άμεσο με αντικατάσταση). Ψάχνουμε λοιπόν αν θα μπορούσε κάποιος άλλος θετικός φυσικός αριθμός

, διάφορος του

, να είναι ρίζα. Θα ήταν τότε n+f(n)=nf(n)

, άρα

$f(n) = 1+ \dfrac {1}{n-1}$ . Επειδή όμως το σύνολο αφίξεως είναι οι ακέραιοι, πρέπει n-1=1

, δηλαδή

. Πίσω στην εξίσωση, δίνει

f(2)=2

.

Με άλλα λόγια αν η αρχική δοθείσα συνάρτηση ικανοποιεί f(2)=2

τότε η

είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Αν πάλι η δοθείσα συνάρτηση ικανοποιεί $f(2) \ne 2$ , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

User#0000 · #3

Αν $f(x)=0\Rightarrow x=0$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Για να ικανοποιείται η εξίσωση ψάχνουμε λύση με $f(x)\neq 0$ .

$x+f(x)=xf(x)\Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{x}=1 \Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}=\frac{1}{f(x)}\neq 0\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}\neq 0\Leftrightarrow x-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 1\Leftrightarrow$

$x\geqslant 2\Leftrightarrow\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{x}\geqslant -\frac{1}{2}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{f(x)}\geqslant\frac{1}{2}>0\Rightarrow \frac{1}{f(x)}>0$ .
Για να ικανοποιείται η εξίσωση ψάχνουμε λύση με $f(x)>0\Rightarrow f(x)\geqslant 1$ .
Επίσης πρέπει να ισχύει ότι:

$\frac{1}{f(x)}\geqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow f(x)\leqslant 2$ .

Οι πιθανές τιμές του f(x)

, ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση είναι το

και το

.

Αν $f(x)=1\Rightarrow x+1=x$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αν $f(x)=2\Rightarrow x+2=2x\Leftrightarrow x=2$ .

Οπότε τελικά, η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση x=2

, όταν ικανοποιείται η συνθήκη f(2)=2

, ενώ αν δεν ικανοποιείται η συνθήκη f(2)=2

, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση