ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΙΤΡΙΝΙΣΜΕΝΟ ΧΑΡΤΙ...

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Πριν λίγες μέρες βρήκα ένα κιτρινισμένο χαρτί στο οποίο είχα γράψει τη λύση ενός θέματος πριν κάποιες δεκαετίες...
Δυστυχώς δεν είχα γράψει την προέλευση του θέματος. Πρόκειται για ένα θέμα με τριώνυμο, κλασσικό πριν 50 και πλέον χρόνια ωστόσο παραμένει ενδιαφέρον και σήμερα μολονότι δεν έχει πλέον θέση στη σχολική διδασκαλία. Το μοιράζομαι μαζί σας για να το δουν και οι μαθητές που παρακολουθούν το mathematica.

Για ποιες τιμές του το είναι αρνητικό για κάθε ;

[Al.Koutsouridis]

Πριν λίγες μέρες βρήκα ένα κιτρινισμένο χαρτί στο οποίο είχα γράψει τη λύση ενός θέματος πριν κάποιες δεκαετίες...
Δυστυχώς δεν είχα γράψει την προέλευση του θέματος. Πρόκειται για ένα θέμα με τριώνυμο, κλασσικό πριν 50 και πλέον χρόνια ωστόσο παραμένει ενδιαφέρον και σήμερα μολονότι δεν έχει πλέον θέση στη σχολική διδασκαλία. Το μοιράζομαι μαζί σας για να το δουν και οι μαθητές που παρακολουθούν το mathematica.

Για ποιες τιμές του το είναι αρνητικό για κάθε ;

Αν το τριώνυμό μας έχει ρίζα στο διάστημα , έστω την , τότε είτε για , είτε για θα είναι μη αρνητικό. Άρα δεν θα πρέπει να έχει ρίζες στο διάστημα . Εφόσον θέλουμε να έχει αρνητικές τιμές σε αυτό και ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου είναι θετικός, η διακρίνουσά του θα πρέπει να είναι θετική. Άρα θα έχει πρέπει να έχει δυο ρίζες.

Αν και οι δυο ρίζες είναι είτε μεγαλύτερες ή ίσες του , είτε μικρότερες ή ίσες του τότε για κάποια , μικρότερα του το τριώνυμο θα είναι θετικό και αντίστοιχα για κάποια μεγαλύτερα του το τριώνυμο θα είναι θετικό.

Επομένως για να ικονοποιείται το ζητούμενο θα πρέπει το τριώνυμό μας να έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα και ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα .

Στο σημείο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τις παρακάτω προτάσεις για τριώνυμο της γενικής μορφής , με τετμημένη της κορυφής της παραβολής και διακρίνουσα :

I Το τριώνυμο έχει ακριβώς μια ρίζα στο ή ή

II Το τριώνυμο έχει ακριβώς μια ρίζα στο ή ή

Παραλείπω προς το παρόν τις αποδείξεις των παραπάνω προτάσεων και απλά θα τις εφαρμόσουμε.


Άρα στην περίπτωσή μας θα είναι τα (από την πρώτη πρόταση) για τα οποία σε ένωση με το σύνολο των που προκύπτει από σύστημα και . Το τελευταίο έχει λύση μόνο τον αριθμό καθόσον δεν είναι μεγαλύτερο του . Άρα τα που ικανοποιούν την πρώτη πρόταση είναι

Ομοίως από την δεύτερη πρόταση θα έχουμε τα για τα οποία σε ένωση με το σύνολο των που προκύπτει από σύστημα και . Το τελευταίο έχει λύση μόνο τον αριθμό καθόσον ο αριθμός δεν είναι μικρότερος του . Άρα τα που ικανοποιούν την δεύτερη πρόταση είναι .

Εν τέλη τα ζητούμενα ανήκουν στο σύνολο



εφόσον επειδή ()

και

. επειδή




Edit: Έγινε διόρθωση στη σύγκριση των άκρων των διαστημάτων έπειτα από παρατήρηση του θεματοδότη.

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Nα ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο για τη λύση.
Βρήκα την προέλευση του θέματος. Πρόκειται για την άλυτη άσκηση 603, σελίδα 299 από το βιβλίο του Δ.Γ.Κοντογιάννη '' ΑΛΓΕΒΡΑ, τόμος 2 '' που εκδόθηκε το 1976.
Υπάρχει η σημείωση ότι έπεσε στο Φυσικό του Πανεπιστημίου της Μόσχας το 1964.

[Al.Koutsouridis]

Στο σημείο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τις παρακάτω προτάσεις για τριώνυμο της γενικής μορφής , με τετμημένη της κορυφής της παραβολής και διακρίνουσα :

I Το τριώνυμο έχει ακριβώς μια ρίζα στο ή ή

II Το τριώνυμο έχει ακριβώς μια ρίζα στο ή ή

Παραλείπω προς το παρόν τις αποδείξεις των παραπάνω προτάσεων και απλά θα τις εφαρμόσουμε.

Η απόδειξη των ισοδυναμιών ή της πρότασης I είναι σχεδόν προφανής. Η πρώτη αντιστοιχεί στο τριώνυμο να έχει διπλή ρίζα και αυτή να είναι μικρότερη ή ίση με το άκρο του διαστήματος. Η δεύτερη αντιστοιχεί στο άκρο του διαστήματος να είναι ρίζα του τριώνυμου και η άλλη ρίζα του να είναι μεγαλύτερη του .

Η ισοδυναμία "Το τριώνυμο έχει ακριβώς μια ρίζα στο " είναι στην ουσία η πρόταση 3 εδώ, όπου και είχαμε δει μια απόδειξή της. Ομοίως εργαζόμαστε και για την πρόταση II.