Οι νέες ταυτότητες

KARKAR · #1

Για τον φυσικό αριθμό $n\geq 2$ και τον θετικό

, ισχύει : $x^2+\dfrac{1}{x^2}=n$ .

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $x^3+\dfrac{1}{x^3}$ :

α) Για : n=2

β) Για : n=3

. ( Εδώ θέλουμε και το ! )

γ) Για οποιοδήποτε $n\geq 4$ .

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 12, 2023 8:28 pm
Για τον φυσικό αριθμό $n\geq 2$ και τον θετικό , ισχύει : $x^2+\dfrac{1}{x^2}=n$ .

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $x^3+\dfrac{1}{x^3}$ :

α) Για :

β) Για : . ( Εδώ θέλουμε και το ! )

γ) Για οποιοδήποτε $n\geq 4$ .

Είναι $\displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} = n \Leftrightarrow \left ( x + \frac{1}{x} \right )^2 - 2 = n \Leftrightarrow \left ( x + \frac{1}{x} \right )^2 = n +2}$ και επειδή x>0

είναι $\displaystyle{x + \frac{1}{x} = \sqrt{n+2}}$ . Τότε,

$\displaystyle{x^3 + \frac{1}{x^3} = \left ( x + \frac{1}{x} \right ) \left ( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} \right ) = \sqrt{n+2} \left ( n - 1 \right )}$

#3

Για τον υπολογισμό του

στο β) ερώτημα:

$\displaystyle {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {({x^3})^2} - 2\sqrt 5 {x^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = \sqrt 5 \pm 2 \Leftrightarrow$

$\boxed{x = \sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}}}$ ή $\boxed{x = \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}}$

Οι νέες ταυτότητες

Οι νέες ταυτότητες

Re: Οι νέες ταυτότητες

Re: Οι νέες ταυτότητες

Μέλη σε σύνδεση