Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα (στο $\displaystyle{R}$ )

$\displaystyle{x+xy+z^2 =-\frac{1}{8}}$

$\displaystyle{y+yz+x^2 =-\frac{1}{8}}$

$\displaystyle{z+zx+y^2 = -\frac{1}{8}}$

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Η κατασκευή της άσκησης έγινε ώστε να λυθεί με χρήση ανισότητας.
Ωστόσο η συνάδελφος Ντίνα Ψαθά, έδωσε μια απλή και σύντομη λύση, την οποία παραθέτω:

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των τριών εξισώσεων επί δύο και προσθέτουμε κατά μέλη, οπότε βρίσκουμε;

$\displaystyle{2x+2y+2z+2xy+2xz+2yz+2x^2 +2y^2 +2z^2 = - \frac{3}{4}}$

Άρα:

$\displaystyle{(x^2 +y^2 +\frac{1}{4} +2xy +x +y)+(y^2 +z^2 +\frac{1}{4} +2yz +y +z)+(z^2 +x^2 +\frac{1}{4} +2zx +z +x)=0}$

Άρα:

$\displaystyle{(x+y+\frac{1}{2})^2 +(y+z+\frac{1}{2})^2 +(z+x+\frac{1}{2})^2 =0}$

Άρα:

$\displaystyle{x+y+\frac{1}{2}=0}$ , (1)

$\displaystyle{y+z+\frac{1}{2}=0}$ , (2)

$\displaystyle{z+x+\frac{1}{2}=0}$ , (3)

Με πρόσθεση κατά μέλη των πιο πάνω εξισώσεων, παίρνουμε:

$\displaystyle{x+y+z=-\frac{3}{4}}$ , (4)

Αφαιρώντας κατά μέλη την (1) από την (4) βρίσκουμε: $\displaystyle{z=-\frac{1}{4}}$

Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (4) βρίσκουμε: $\displaystyle{x=-\frac{1}{4}}$

Αφαιρώντας κατά μέλη την (3) από την (4) βρίσκουμε: $\displaystyle{y=-\frac{1}{4}}$

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 14, 2023 9:34 pm
Να λυθεί το σύστημα (στο $\displaystyle{R}$ )

$\displaystyle{x+xy+z^2 =-\frac{1}{8}}$

$\displaystyle{y+yz+x^2 =-\frac{1}{8}}$

$\displaystyle{z+zx+y^2 = -\frac{1}{8}}$

Μια άποψη :

Αφού με κυκλική εναλλαγή των γραμμάτων η αλγεβρική παράσταση :

$f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y) = - \dfrac{1}{8}$ θα είναι : x = y = z

και άρα

$2{x^2} + x + \dfrac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 16{x^2} + 8x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {4x + 1} \right)^2} = 0$ . Οπότε : $x = y = z = - \dfrac{1}{4}$ .

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση