Μία εξίσωση

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2023 11:06 am
Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση: $\displaystyle\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-6x+1}+\displaystyle\sqrt[3]{2{{x}^{2}}-3x+1}+\displaystyle\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}=0$ .

Προφανώς... είναι αδύνατη!

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #4

Στα Μαθηματικά της Α Λυκείου θεωρούμε ότι μια νιοστή ρίζα έχει νόημα μόνο όταν το υπόριζο είναι μη αρνητικό.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #6

... Τι θέλεις να πεις;

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #8

Δεν κατάλαβες,... εδώ και πολλά πολλά χρόνια διδάσκω τους μαθητές μου ότι το υπόριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό!
Με μη αρνητικό υπόριζο η εξίσωση που δίνεις δεν έχει λύση.
Πόσο πιο αναλυτικά πρέπει να στο γράψω για να το καταλάβεις;

orestisgotsis · #9

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #10

orestisgotsis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2023 11:15 pm

abgd έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2023 11:10 pm
Δεν κατάλαβες,... εδώ και πολλά πολλά χρόνια διδάσκω τους μαθητές μου ότι το υπόριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό!
Με μη αρνητικό υπόριζο η εξίσωση που δίνεις δεν έχει λύση.
Πόσο πιο αναλυτικά πρέπει να στο γράψω για να το καταλάβεις;
Αργότερα θα αναρτήσω τη λύση.

Συ είπας!

orestisgotsis · #11

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #12

Οι ρίζες που δίνεις απορρίπτονται αφού για τις τιμές αυτές το πρώτο υπόριζο είναι αρνητικό. Συνεπώς, η εξίσωση είναι αδύνατη.

orestisgotsis · #13

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #14

orestisgotsis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 12:00 am

abgd έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2023 11:49 pm
Οι ρίζες που δίνεις απορρίπτονται αφού για τις τιμές αυτές το πρώτο υπόριζο είναι αρνητικό. Συνεπώς, η εξίσωση είναι αδύνατη.
Από το βιβλίο: ${{x}^{3}}=-8\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow -x=\sqrt[3]{8}\Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{8}=-2$

Ωχ!!!
Προσπάθησε να ξεκαθαρίσεις κάποια πράγματα στο μυαλό σου για να μην με κουράζεις χωρίς λόγο και για να μην μπερδέψεις τους μαθητές που μας παρακολουθούν.
Άλλο πράγμα η εξίσωση $x^{2n+1}=a$ , με a<0

και

θετικό ακέραιο, η οποία έχει λύση την $x=-\sqrt[2n+1]{-a}$
και άλλο πράγμα η έννοια $\sqrt[2n+1]{a}$ , με a<0

και

θετικό ακέραιο.

Στα Μαθηματικά του Λυκείου δεν ορίζουμε την $\sqrt[2n+1]{a}$ , με a<0

και

θετικό ακέραιο.
Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι δεν είναι σωστό να ορίσουμε ότι: $\sqrt[2n+1]{a}=-\sqrt[2n+1]{-a}$ ... σε κάποια άλλα μαθηματικά όμως.

orestisgotsis · #15

ΠΕΡΙΤΤΑ

abgd · #16

Καλό Βράδυ.

#17

'Ισως φανεί χρήσιμη μία συζήτηση στο φόρουμ πριν από δέκα χρόνια σχετικά με κυβικές ρίζες αρνητικών. Βλέπε το ποστ #

εδώ.

Τσιαλας Νικολαος · #18

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 12:57 am
'Ισως φανεί χρήσιμη μία συζήτηση στο φόρουμ πριν από δέκα χρόνια σχετικά με κυβικές ρίζες αρνητικών. Βλέπε το ποστ # εδώ.

Θα συμφωνήσω με τον κύριο Μιχάλη! Σίγουρα σε βιβλία ολυμπιάδων υπάρχει κανονικότατα. Η συγκεκριμένη άσκηση υπάρχει σε ένα από τα πολλά βιβλία του Titu Andreescu. Γνωρίζω επίσης ότι η ύπαρξη αρνητικού υπόριζου σε περιττού βαθμού ρίζα διδάσκεται στην Ρουμανία και στην Κορέα.

#19

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 3:16 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 13, 2023 12:57 am
'Ισως φανεί χρήσιμη μία συζήτηση στο φόρουμ πριν από δέκα χρόνια σχετικά με κυβικές ρίζες αρνητικών. Βλέπε το ποστ # εδώ.
Θα συμφωνήσω με τον κύριο Μιχάλη! Σίγουρα σε βιβλία ολυμπιάδων υπάρχει κανονικότατα. Η συγκεκριμένη άσκηση υπάρχει σε ένα από τα πολλά βιβλία του Titu Andreescu. Γνωρίζω επίσης ότι η ύπαρξη αρνητικού υπόριζου σε περιττού βαθμού ρίζα διδάσκεται στην Ρουμανία και στην Κορέα.

Μέχρι και το τέλος της δεκαετίας του 1970, και εμείς στην Ελλάδα, δεχόμασταν ότι π.χ η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{x}}$
έχει πεδίο ορισμού το R. Αργότερα, για απλούστευση των πράξεων με τα ριζικά, έγινε μια συμφωνία και στα σχολικά βιβλία
που γράφτηκαν, όλες οι υπόριζες ποσότητες είχαν νόημα μόνο αν είναι μη αρνητικές. Υπήρχε βέβαια και μια σημείωση που έλεγε
ότι στην βιβλιογραφία ορίζονται και ριζικά περιττής τάξεως με αρνητικό υπόριζο , δηλαδή ότι έχει νόημα π.χ η $\displaystyle{ \sqrt[3]{-8}}$
Όταν αυτή η παραδοχή είχε γίνει τότε στα σχολικά βιβλία, (για να μην μπερδεύονται οι μαθητές όπως είπαμε στις δυσκολίες που
υπήρχαν με τις ιδιότητες των ριζών), υπήρχαν πολλές αντιδράσεις από την μαθηματική κοινότητα, όπου κάποιες είχαν δημοσιευθεί
και στο περιοδικό της ΕΜΕ ¨ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β". Μάλιστα τότε κάποιος συνάδελφος είχε γράψει μέσω του περιοδικού αυτού, ότι δεν
είναι σωστό να περιορίσουμε κάτι επειδή υπάρχουν δυσκολίες, γιατί τότε, χάριν της απλούστευσης, ας θεωρήσουμε και όλα τα τρίγωνα
να είναι ισόπλευρα.
Η νέα θεώρηση για τις υπόριζες ποσότητες, έχει πλεονεκτήματα, αλλά και μειονεκτήματα.

Ένα μειονέκτημα π.χ είναι η εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{x^2}}$

Με την παλαιότερη θεώρηση, έχουμε $\displaystyle{f^{/}(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=}$

$\displaystyle{\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R-\{0\}}$

Με την νεότερη θεώρηση, υπάρχει μια άλλη (ως γνωστόν) διαδικασία (γράφοντας $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{|x|^2}}$ )

Για την άσκηση τώρα, που έθεσε ο Ορέστης, παρά το γεγονός ότι υπάρχει λύση στο R , με βάση το σχολικό βιβλίο ,
δεν θα δεχθούμε τις λύσεις , όπως σωστά έγραψε ο Κώστας . ('Ενα ακόμα από τα μειονεκτήματα της νεότερης θεώρησης).

Μία εξίσωση

Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Re: Μία εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση