Συμμετρικό ως προς το μηδέν

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15651
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συμμετρικό ως προς το μηδέν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 04, 2024 11:28 am

Ο a είναι ένας θετικός αριθμός . Βρείτε την τιμή του , ώστε η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{a-\sqrt{2a-x}}

να έχει πεδίο ορισμού διάστημα συμμετρικό ως προς το 0 . Βρείτε και το σύνολο τιμών της συνάρτησης .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 04, 2024 2:52 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2024 11:28 am
Ο a είναι ένας θετικός αριθμός . Βρείτε την τιμή του , ώστε η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{a-\sqrt{2a-x}}

να έχει πεδίο ορισμού διάστημα συμμετρικό ως προς το 0 . Βρείτε και το σύνολο τιμών της συνάρτησης .

Θανάση, είναι σίγουρο ότι υπάρχει τέτοιο a; Βγάζω ότι πρέπει a=2 αλλά εν τέλει το πεδίο ορισμού δεν είναι συμμετρικό (προκύπτει το [0, 4]).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1891
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συμμετρικό ως προς το μηδέν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Νοέμ 04, 2024 4:07 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2024 11:28 am
Ο a είναι ένας θετικός αριθμός . Βρείτε την τιμή του , ώστε η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{a-\sqrt{2a-x}}

να έχει πεδίο ορισμού διάστημα συμμετρικό ως προς το 0 . Βρείτε και το σύνολο τιμών της συνάρτησης .
Για να ορίζεται η παράσταση θα πρέπει 2a-x\geq 0 από όπου παίρνουμε ότι x \leq 2a και a \geq \sqrt{2a-x}. Η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική οπότε και το a είναι μη αρνητικό. Άρα η ανισότητα a \geq \sqrt{2a-x} είναι ισοδύναμη με την a^2 \geq 2a-x ή x \geq 2a-a^2.

Όμως 2a-a^2 \leq 2a άρα 2a-a^2 \leq x \leq 2a. Για να είναι συμμετρικό αυτό το διάστημα ως προς το 0, θα πρέπει αυτό να είναι το μέσο του. Οπότε \dfrac{2a+2a-a^2}{2}=0, από όπου βρίσκουμε a=0 ή a=4.

Για a=0 η συνάρτηση γίνεται f(x)=\sqrt{-\sqrt{-x}} και έχει πεδίο ορισμού μόνο το σημείο x=0, άρα δεν σχηματίζει διάστημα σε αυτήν την περίπτωση.

Για a=4 το πεδίο ορισμού είναι -8 \leq x \leq 8. Που είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν.

Έστω y η τιμή που να πάρει η συνάρτηση f(x), τότε θα πρέπει να ισχυεί \sqrt{4-\sqrt{8-x}}=y. Από όπου βρίσκουμε διαδοχικά

\sqrt{8-x} = -y^2+4. Η ρίζα είναι μη αρνητική άρα, θα πρέπει -y^2+4 \geq 0, από όπου βρίσκουμε ότι y^2 \leq 4 και εφόσον οι τιμές τις συνάρτησης είναι μη αρνητικές θα πρέπει 0 \leq y \leq 2.

Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση μπορεί να πάρει όλες τιμές αυτού του διαστήματος. Για αυτό αρκεί η εξίσωση \sqrt{8-x} = -y^2+4 να έχει λύσεις για κάποιο x του διαστήματος ορισμού. Πράγματι η εξίσωση γράφεται

8-x = (4-y^2)^2 ή y^4-8y^2+8-x=0 και έχει διακρίνουσα (ως προς y^2) D=8^2-4(8-x)= 32+4x \geq 0 αφού -8 \leq x \leq 8. Με λύσεις

y^2= \dfrac{8-\sqrt{32+4x}}{2} ή y = \sqrt{\dfrac{8-\sqrt{32+4x}}{2}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης