Μια δυναμοσειρά!
Συντονιστής: Demetres
Μια δυναμοσειρά!
Καλημέρα.
Να βρείτε το διάστημα σύγκλισης έστω της δυναμοσειράς , καθώς και το άθροισμα για κάθε τιμή του
Υ.Γ Θα αφήσω όσο χρόνο επιθυμείτε μέχρι να ανεβάσω τη λύση μου.
Να βρείτε το διάστημα σύγκλισης έστω της δυναμοσειράς , καθώς και το άθροισμα για κάθε τιμή του
Υ.Γ Θα αφήσω όσο χρόνο επιθυμείτε μέχρι να ανεβάσω τη λύση μου.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μια δυναμοσειρά!
Στα παρακάτω γίνεται λόγος για ακτίνα σύγκλισης, διότι, θεωρώντας ότι και το μονοσύνολο είναι εκφυλισμένο διάστημα με ακτίνα , υπάρχει πάντα ακτίνα σύγκλισης.
Για την ακτίνα σύγκλισης αρκεί να βρούμε το .
Είναι , όπως προκύπτει αν θέσουμε , στη σειρά Maclaurin της .
Άρα, .
Ακόμη, .
Άρα,
κι επειδή , έπεται ότι και επειδή ,
έπεται ότι .
Άρα, η ακτίνα σύγκλισης .
Μένει να εξεταστεί το διάστημα σύγκλισης, αν είναι κλειστό, ανοικτό ή ημιανοικτό, και να υπολογιστεί η σειρά.
Θα προσπαθήσω να επανέλθω σύντομα.
Στη λύση χρησιμοποιείται ο τύπος του Euler .
Για την ακτίνα σύγκλισης αρκεί να βρούμε το .
Είναι , όπως προκύπτει αν θέσουμε , στη σειρά Maclaurin της .
Άρα, .
Ακόμη, .
Άρα,
κι επειδή , έπεται ότι και επειδή ,
έπεται ότι .
Άρα, η ακτίνα σύγκλισης .
Μένει να εξεταστεί το διάστημα σύγκλισης, αν είναι κλειστό, ανοικτό ή ημιανοικτό, και να υπολογιστεί η σειρά.
Θα προσπαθήσω να επανέλθω σύντομα.
Στη λύση χρησιμοποιείται ο τύπος του Euler .
τελευταία επεξεργασία από ksofsa σε Παρ Δεκ 29, 2023 8:52 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Κώστας
Re: Μια δυναμοσειρά!
Από το γνωστό
η αρχική δυναμοσειρά, έστω γράφεται
όπου
Γράφω
Η πρώτη δυναμοσειρά είναι η γεωμετρική με διάστημα σύγκλισης το και όριο
ενώ για τη δεύτερη δυναμοσειρά βρίσκουμε ακτίνα σύγκλισης ίση με 1.
Στα άκρα δεν έχουμε σύγκλιση διότι . Τελικά η συγκλίνει στο
edit: με πρόλαβαν.
η αρχική δυναμοσειρά, έστω γράφεται
όπου
Γράφω
Η πρώτη δυναμοσειρά είναι η γεωμετρική με διάστημα σύγκλισης το και όριο
ενώ για τη δεύτερη δυναμοσειρά βρίσκουμε ακτίνα σύγκλισης ίση με 1.
Στα άκρα δεν έχουμε σύγκλιση διότι . Τελικά η συγκλίνει στο
edit: με πρόλαβαν.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Μια δυναμοσειρά!
Ωραία! Η δική μου λύση δεν χρησιμοποιεί ακτίνα σύγκλισης.
Θέτουμε
και αφού η δυναμοσειρά συγκλίνει για και αποκλίνει για
Είναι που αποκλίνει.
Για είναι
Για είναι
άρα τελικά και αποκλίνει για και για
Θέτουμε
και αφού η δυναμοσειρά συγκλίνει για και αποκλίνει για
Είναι που αποκλίνει.
Για είναι
Για είναι
άρα τελικά και αποκλίνει για και για
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μια δυναμοσειρά!
Έμεινε να βρεθεί το άθροισμα.
Γράφουμε
Τότε από το ανάπτυγμα έχουμε
Άρα για . Για άμεσο από τα παραπάνω.
Edit. Γράφαμε συγχρόνως, αλλά το αφήνω ως απλούστερο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15768
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μια δυναμοσειρά!
.
Σωστά αλλά ουσιαστικά χρησιμοποιεί ακτίνα σύγκλισης στα κρυφά: Το παραπάνω όριο των συντελεστών, εδώ της μορφής (που ισούται με ) είναι αυτό που μας δίνει την ακτίνα σύγκλισης (το ισούται με αυτό).
Re: Μια δυναμοσειρά!
Προφανώς, απλά δεν αναφέρθηκα στην ακτίνα σύγκλισης, αυτό θέλω να πω.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 29, 2023 8:48 pm.
Σωστά αλλά ουσιαστικά χρησιμοποιεί ακτίνα σύγκλισης στα κρυφά: Το παραπάνω όριο των συντελεστών, εδώ της μορφής (που ισούται με ) είναι αυτό που μας δίνει την ακτίνα σύγκλισης (το ισούται με αυτό).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης