Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Συντονιστής: Demetres
Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Γεια σας! Έχω να βρω όλες τις πρωταρχικές λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης .
Εγώ ξεκίνησα ως εξής:
Οι τετριμμένες λύσεις είναι οι .
Άρα, έστω .
Αν λύση, τότε λύσεις.
Άρα ψάχνω λύσεις στους θετικούς ακεραίους.
Αν τότε 'με και εμείς ψάχνουμε τις λύσεις της .
Μετά σκέφτηκα να πάρω περιπτώσεις για τα πρόσημα των αλλά γενικά κολλάω.
Υπάρχει γενικά κάποια μέθοδος για εξισώσεις της μορφής .
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!
Εγώ ξεκίνησα ως εξής:
Οι τετριμμένες λύσεις είναι οι .
Άρα, έστω .
Αν λύση, τότε λύσεις.
Άρα ψάχνω λύσεις στους θετικούς ακεραίους.
Αν τότε 'με και εμείς ψάχνουμε τις λύσεις της .
Μετά σκέφτηκα να πάρω περιπτώσεις για τα πρόσημα των αλλά γενικά κολλάω.
Υπάρχει γενικά κάποια μέθοδος για εξισώσεις της μορφής .
Ευχαριστώ εκ των προτέρων!!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 5
- Εγγραφή: Δευ Απρ 02, 2018 11:59 am
Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Καταρχήν καλησπέρα
Μπορείς να πάρεις διάφορες περιπτώσεις για τους
Παράδειγμα μια εύκολη λύση και προφανής λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης είναι η
Φιλικά,
Γιώργος
Μπορείς να πάρεις διάφορες περιπτώσεις για τους
Παράδειγμα μια εύκολη λύση και προφανής λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης είναι η
Φιλικά,
Γιώργος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Το κόλπο εδώ είναι να το γράψουμε ως εξής:
Θεωρώντας ότι οι είναι πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει το οποίο είναι ίσο με ή . Υπάρχουν λοιπόν οι εξής περιπτώσεις:
όπου σε όλες τις περιπτώσεις οι είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε και με τους να είναι αναγκαστικά περιττοί. Ομοίως δουλεύονται και οι άλλες περιπτώσεις.
Θεωρώντας ότι οι είναι πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει το οποίο είναι ίσο με ή . Υπάρχουν λοιπόν οι εξής περιπτώσεις:
όπου σε όλες τις περιπτώσεις οι είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Στην πρώτη περίπτωση βρίσκουμε και με τους να είναι αναγκαστικά περιττοί. Ομοίως δουλεύονται και οι άλλες περιπτώσεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 61
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 10, 2019 9:20 am
Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μέθοδος επιλυσής των εξισώσεων της μορφής , .
Αν , η εξίσωση έχει τις τετριμένες λύσεις: και, .
Αν , η εξίσωση γράφεται:
, .
Έστω ότι για τους ρητούς αριθμούς και ισχύει:
,όπου με .
Η γράφεται:
Έτσι υπάρχει , με και .
Η δίνει:
Επομένως ,έχουμε τις ακέραιες λύσεις:
, με .
Οπότε οι λύσεις της εξίσωσής θα προκύψουν αν θέσουμε όπου το (δηλαδή όταν )
Άρα , με .
Αν , η εξίσωση έχει τις τετριμένες λύσεις: και, .
Αν , η εξίσωση γράφεται:
, .
Έστω ότι για τους ρητούς αριθμούς και ισχύει:
,όπου με .
Η γράφεται:
Έτσι υπάρχει , με και .
Η δίνει:
Επομένως ,έχουμε τις ακέραιες λύσεις:
, με .
Οπότε οι λύσεις της εξίσωσής θα προκύψουν αν θέσουμε όπου το (δηλαδή όταν )
Άρα , με .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 1 επισκέπτης