Κάθετη στη διάμεσο

#1

: Κάθετη στη διάμεσο.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC

στην υποτείνουσά του

θεωρούμε

σημείο

έτσι ώστε

. Δείξετε ότι η

είναι κάθετη στη διάμεσο

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

. Τότε

και

(1)

Ακόμα, $BC=2\sqrt{2}x$ , άρα $BD=\dfrac{4\sqrt{2}x}{3}\Leftrightarrow BD^2=\dfrac{32x^2}{9}$ (2) και $DC=\dfrac{2\sqrt{2}x}{3}$ (3)

Χρησιμοποιώντας το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο DMC

προκύπτει ότι: $DM^2=DC^2+CM^2-2DM\cdot CM\cdot \cos{45^o}\Leftrightarrow$ $DM^2=\dfrac{8x^2}{9}+x^2-\dfrac{4x^2\sqrt{2}}{3\sqrt {2}}$ $\Leftrightarrow...\Leftrightarrow DM^2=\dfrac{5x^2}{9}$ (4)

Αφαιρώντας τις σχέσεις (2) και (4) κατά μέλη και προκύπτει ότι BD^2-DM^2=3x^2

(5)

Από τις σχέσεις (1) και (5) προκύπτει ότι AB^2-AM^2=BD^2-DM^2

και σύμφωνα με το κριτήριο καθετότητας ισχύει ότι $AD\perp BM$

#3

Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο στην υποτείνουσά του θεωρούμε

σημείο έτσι ώστε . Δείξετε ότι η είναι κάθετη στη διάμεσο

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος

Χρόνια Πολλά σε όλους!

: Κάθετη στη διάμεσο.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

Έστω

το μέσο της

, οπότε

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και BG=2GM, BD=2DC

, άρα

δηλαδή $\displaystyle{DG \bot AB}$ . Επομένως το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABD

και το ζητούμενο έπεται.

#4

george visvikis έγραψε:
Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο στην υποτείνουσά του θεωρούμε

σημείο έτσι ώστε . Δείξετε ότι η είναι κάθετη στη διάμεσο

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος
Χρόνια Πολλά σε όλους!

Κάθετη στη διάμεσο.png
Έστω το μέσο της , οπότε είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου και , άρα

δηλαδή $\displaystyle{DG \bot AB}$ . Επομένως το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο έπεται.

Ο νέος( Διονύσης) είναι ωραίος , αλλά κι ο παλιός ( Γιώργος) είναι αλλιώς . απο ένα

Πάντως η άσκηση μπήκε στο φάκελο αυτό για τη λύση του Γιώργου.

Φιλικά, Νίκος

STOPJOHN · #5

Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο στην υποτείνουσά του θεωρούμε

σημείο έτσι ώστε . Δείξετε ότι η είναι κάθετη στη διάμεσο

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά
Προεκτείνουμε την

κατά ίσο τμήμα CL=AC

Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο BMC

με τέμνουσα $AED,\dfrac{BE}{EM}=4,(1)$
Είναι $DC=\dfrac{a}{3},IC=\dfrac{MT}{2}=\dfrac{a}{4},MT=\dfrac{a}{2},DI=\dfrac{a}{3}-\dfrac{a}{4}=\dfrac{a}{12},IC=\dfrac{a}{4},BD.BI=\dfrac{a^{2}}{2},(2), BM^{2}=\dfrac{5a^{2}}{8}=BE+EM,(3), (1),(3)\Rightarrow BE=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5\sqrt{8}}, BE.MB=\dfrac{a^{2}}{2},(4), (2),(4)\Rightarrow BE.BM=BD.BI$
Αρα το τετράπλευρο EMID

είναι εγράψιμο και συνεπώς $\hat{E}=90^{0}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε:Κάθετη στη διάμεσο.png
Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο στην υποτείνουσά του θεωρούμε

σημείο έτσι ώστε . Δείξετε ότι η είναι κάθετη στη διάμεσο

Κάθε λύση δεκτή .

Νίκος

Έστω $\displaystyle{E}$ η τομή της $\displaystyle{AD}$ με την παράλληλη από το $\displaystyle{C}$ στην $\displaystyle{AB}$

$\displaystyle{\frac{{AB}}{{CE}} = \frac{{BD}}{{DC}} = 2 \Rightarrow CE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{AC}}{2} = AM}$ .Άρα $\displaystyle{\vartriangle ABM = \vartriangle ACE \Rightarrow x = y \Rightarrow \boxed{AD \bot BM}}$

: KSD.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

KARKAR · #7

Βρείτε πληθώρα λύσεων εδώ

Κάθετη στη διάμεσο

Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Re: Κάθετη στη διάμεσο

Μέλη σε σύνδεση