Ισόπλευρα τρίγωνα

[Ορέστης Λιγνός]

Σε τετράγωνο πλευράς να εγγραφούν δύο ισοδύναμα ισόπλευρα τρίγωνα με την μεγαλύτερη δυνατή πλευρά, και να βρεθεί αυτή η πλευρά.

Σημείωση : Εννοείται ότι τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα δεν επικαλύπτονται.

[Al.Koutsouridis]

Σε τετράγωνο πλευράς να εγγραφούν δύο ισοδύναμα ισόπλευρα τρίγωνα με την μεγαλύτερη δυνατή πλευρά, και να βρεθεί αυτή η πλευρά.

Σημείωση : Εννοείται ότι τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα δεν επικαλύπτονται.

Σκιαγράφηση, νομίζω, λύσης:

Θεωρούμε το πρόβλημα εγγραφής ισόπλευρου τριγώνου μέγιστου εμβαδού σε λωρίδα σταθερού πλάτους. Εκφράζουμε το εμβαδόν του τριγώνου μέσο του ύψους του. Το μέγιστο ύψος που μπορεί να έχουμε είναι ίσο με το πλάτος της λωρίδας.

Έστω δυο τρίγωνα τώρα που βρίσκονται μέσα στο τετράγωνο. Υπάρχει ευθεία που αφήνει αυτά τα τρίγωνα εκατέρωθέν της. Θεωρούμε τις λωρίδες που ορίζονται από αυτή την ευθεία και την παράλληλη σε αυτή από τις κορυφές του τετραγώνου με την μεγαλύτερη απόσταση από αυτή.

Το άθροισμα αυτών των αποστάσεων είναι μικρότερο ή ίσο της διαγωνίου του τετραγώνου. Άρα τα μέγιστα ισόπλευρα τρίγωνα θα έχουν το ύψος τους πάνω στην διαγώνιο του τετραγώνου και το ύψος αυτό θα είναι ίσο με το μισό της διαγωνίου. Μένει να παρατηρήσουμε ότι ένα τέτοιο τρίγωνο βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός του τετραγώνου.