Μία ορθή και μία σχέση

#1

είναι το περίκεντρο ισοσκελούς τριγώνου $ABC (AB=AC, \widehat A\ne 90^\circ)$ και

είναι το

συμμετρικό του

ως προς την AC.

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

α) Να δείξετε ότι $D\widehat OE=90^\circ.$

β) Να βρείτε τη σχέση ανάμεσα στις γωνίες $\widehat A$ και $O\widehat ED.$

Δίνεται ένα 24ωρο στους μαθητές. Το σχήμα και πάλι αποτελεί μέρος της λύσης.

angvl · #2

α)
'Εστω ότι $\displaystyle \angle BAC=2x, x>0$ . Απο υπόθεση το $\displaystyle \triangle ABC$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

και επειδή $\displaystyle AB//DE$ άρα $\displaystyle \angle ABC = \angle ACB = \angle FEC$

Αφού το σημείο

είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\triangle ABC$ , τότε η

είναι η μεσοκάθετος της $\displaystyle BC$ άρα και η διχοτόμος της γωνίας $\angle BAC .$

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle \triangle AOL , \triangle ALD$ είναι ίσα( OL=LD,

$\displaystyle AL$ κοινή

οπότε

Ομοίως τα ορθογώνια τρίγωνα $\triangle OLC , \triangle DLC$ είναι ίσα άρα $\displaystyle OC=CD$

Αλλά $\displaystyle AO=OC$ ως ακτίνες του περίκυκλου του $\displaystyle \triangle ABC$ συνεπώς $\displaystyle AO=OC=AD=DC$ οπότε το τετράπλευρο $\displaystyle ADCO$ είναι ρόμβος.

Από τα παραπάνω εύκολα προκύπτει ότι $\displaystyle \angle DCE = \angle FCE+\angle DCF=90^0 -x+x=90^0.$

Το τετράπλευρο $\displaystyle ODCE$ είναι εγγράψιμο γιατί μία πλευρά του η

φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπο ίσες γωνίες. Συνεπώς

$\displaystyle \angle DOE + \angle DCE =180^0 \Rightarrow \angle DOE=90^0$

β)
Αφου το τετράπλευρο $\displaystyle ODCE$ είναι εγγράψιμο άρα $\displaystyle \angle OED=\angle DCO =2x$ . 'Αρα $\displaystyle \angle OED=\angle BAC$

: Μία ορθή και μία σχέση.png (117.52 KiB) Προβλήθηκε 1759 φορές

angvl · #3

Καλησπέρα. Αυτά που έγραψα στο προηγούμενο πόστ ισχύουν αν η γωνία $\angle BAC$ είναι οξεία. Αν είναι αμβλεία τότε :

α)
Με παρόμοιο τρόπο οπως στο προηγούμενο πόστ βγαίνει ότι το τετράπλευρό DCOE

είναι εγγράψιμο οπότε τώρα

$\angle DOE =\angle DCE =90^0$ ως εγγεγραμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.

β)
Αφου το τετράπλευρο DCOE

είναι εγγράψιμο άρα $\displaystyle \angle OED+\angle DCO =180^0 \Rightarrow \angle OED = 180^0-2x=180^0-\angle BAC$ . Συνεπώς σε αυτή την περίπτωση οι γωνίες είναι παραπληρωματικές.

: Μία ορθή και μία σχέση2.png (221.61 KiB) Προβλήθηκε 1699 φορές

Μία ορθή και μία σχέση

Μία ορθή και μία σχέση

Re: Μία ορθή και μία σχέση

Re: Μία ορθή και μία σχέση

Μέλη σε σύνδεση