Λήμμα-3.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 8.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 1360 φορές

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι η

είναι διχοτόμος της $\angle CDA$ .

STOPJOHN · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2020 7:06 pm 8.png

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι η είναι διχοτόμος της $\angle CDA$ .

Είναι $\hat{\phi }+\hat{\theta }=90^{0}\Rightarrow \hat{IAB}=90^{0}$ ,

Εστω ότι $BT\perp AD,BJ\perp AC,B\Omega \perp DC,$

Τότε $AB\perp TJ,\hat{ATJ}=\hat{\theta }=\hat{AJT}=\hat{TBA}=\hat{ABJ}=\hat{DBC},$

Αρα $\hat{ABD}=\hat{JBC}=\rho$ και $\hat{AIB}=\hat{JCB}=90-\rho$

Συνεπως το τετράπλευρο AICB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο και $\hat{ICB}=\hat{IAB}=90^{0}$

δηλαδή η

είναι εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$

Από την ισότητα των τριγώνων $BJC,BC\Omega ,BJ=BV,BT=BJ \Rightarrow BT=B\Omega$

και

είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{CDA}$

Manolis Petrakis · #3

Μία απόδειξη με αρμονικότητα:
Έστω

διχοτόμος της $\widehat{DAC}$ που τέμνει την

στο

. Έστω ακόμη ότι οι προεκτάσεις των

και

τέμνονται στο

και πως οι BD,AC

τέμνονται στο

Είναι $\widehat{GAC}=\widehat{GBC}$ άρα ABCG

εγγράψιμο και $\widehat{BCG}=\widehat{GAB}=90^{\circ} (1)$
Είναι $\frac{ED}{EC}=\frac{AD}{AC}=\frac{FD}{FC}$ από το θεώρημα των διχοτόμων. Έτσι (E,F,D,C)

:αρμονική σημειοσειρά.
Επομένως AE,AD,AF,AC

: αρμονική δέσμη ευθειών $\Rightarrow (B,G,H,D)$ : αρμονική σημειοσειρά
$\Leftrightarrow CB,CH,CG,CD$ : αρμονική δέσμη ευθειών με $\widehat{BCG}=90^{\circ}$ (λόγω της (1)

). Άρα

διχοτόμος $\widehat{DAC}$
Έτσι

έγκεντρο

$\Rightarrow BD$ : διχοτόμος $\widehat{CDA}$

: 20201025_002519.jpg (38.31 KiB) Προβλήθηκε 1285 φορές

#4

: Φάνης Λήμμα 3_a λύση.png (30.57 KiB) Προβλήθηκε 1235 φορές

Γράφω τον κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ και τέμνει την

στο

άρα :

Αφ ενός $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{\theta _{}}}$ κι αφετέρου $\widehat {IKC} = 2\widehat {{\theta _{}}}$ . μα τότε το τετράπλευρο

AKCD

είναι εγγράψιμο κι αφού KA = KC

η

διχοτομεί την $\widehat {ADC}$ .

Συνεπώς το

είναι το έγκεντρο του $\vartriangle ADC$

angvl · #5

: λήμμα3.png (157.43 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Καλημέρα.

Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα άρα $\theta+\phi=90^0$ .

Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου ADB

και έστω

το σημείο τομής του με την διχοτόμο της γωνίας $\angle DAC$ .

Αφού η γωνία $\angle LAB = 90^0$ , η

είναι διάμετρος, άρα τα σημεία B, C, L

πρέπει να είναι συνευθειακά.

Εστω

το σημείο τομής της

με τον κύκλο. Φέρνω την

και την

. Τότε $\angle LMZ =90^0$ γιατί $\phi+\theta=90^0$ .

Συνεπώς η

είναι μεσοκάθετος της

, οπότε $x+\omega = \omega + y \Rightarrow x = y$ .

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2020 7:06 pm 8.png

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι η είναι διχοτόμος της $\angle CDA$ .

Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου ADC

που τέμνει την

στο

Προφανώς, $\boxed{\theta + \varphi = 90^\circ}$

και το ABCE

είναι εγγράψιμο, όπου στο σχήμα φαίνονται οι ίσες γωνίες.

: Λήμμα.3Φ..png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

$\displaystyle D\widehat EC = D\widehat EF + F\widehat EC = 90^\circ-\omega + \omega + \theta = 90^\circ + \theta$ και επειδή το

είναι

σημείο της διχοτόμου AF,

θα είναι έγκεντρο του ADC,

απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

#7

Ας είναι

η διχοτόμος της $\widehat {DAC}$ και τέμνει την

στο

. Έστω ακόμα

το σημείο τομής των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ .

Θα είναι $\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {EAB} = 90^\circ$ , ενώ η τετράδα : $\left( {D,S\backslash I,B} \right)$ είναι αρμονική.

: Φάνης Λήμμα 3_αρμονικά.png (23.6 KiB) Προβλήθηκε 1198 φορές

Όμως το

είναι εγγράψιμο γιατί οι κορυφές A,B

βλέπουν την

υπό γωνία $\widehat {{\theta _{}}}$ και άρα $\widehat {BCI} = 90^\circ$ .

Αφού όμως η δέσμη : $C\left( {D,S\backslash I,B} \right)$ είναι αρμονική η

διχοτομεί την $\widehat {ACD}$ και άρα το

είναι το έγκεντρο του $\vartriangle ADC$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2020 7:06 pm 8.png

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι η είναι διχοτόμος της $\angle CDA$ .

Η κάθετη στην

στο

είναι διχοτόμος της $\angle A$

Λόγω των εγγράψιμων ABCH,ABKD

,θα είναι $BD \bot EK$ και $HC \bot BK$

Έτσι,

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου BEK

. Άρα $EC \bot BK \Rightarrow E,H,C$ συνευθειακά και το

τρίγωνο ADC

είναι ορθικό του τριγώνου BEK

οπότε

διχοτομεί την $\angle ADC$

: λήμμα 3.png (137.31 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

Λήμμα-3.

Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Re: Λήμμα-3.

Μέλη σε σύνδεση