Τετράπλευρο-18.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 65.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 2075 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω τετράπλευρο ABCD

, ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

Κατασκευή

Έχω το τρίγωνο $BDC \to \left( {37^\circ ,74^\circ ,69^\circ } \right)$ . Φέρνω κάθετο στο

, στο μέσο του Μ, που τέμνει την ευθεία

στο

.

Το τρίγωνο $SBD \to \left( {32^\circ ,74^\circ ,74^\circ } \right)$ . Γράφω και τον κύκλο $\left( {B,C,S} \right)$ .

Ο πιο πάνω κύκλος τέμνει ακόμα την

στο

που αβίαστα προκύπτει ότι είναι το περίκεντρο του $\vartriangle DBC$ .

Φέρνω τώρα ευθεία, δια του

( προς το μέρος του

) που σχηματίζει γωνία $76^\circ$ με την ευθεία

, που τέμνει την ευθεία

στο

.

Προφανώς: $\widehat {DAM} = \widehat {MAB} = 14^\circ \,$ . Στην προέκταση της

προς το

θεωρώ σημείο

για το οποίο $\boxed{\widehat {DKT} = 14^\circ }$

: τετράπλευρο 18_oritzin.png (45.89 KiB) Προβλήθηκε 2021 φορές

Άμεσες συνέπειες :

$\widehat {AKT} = \widehat {AKD} + \widehat {DKT} = 69^\circ + 14^\circ = 83^\circ = 53^\circ + 30^\circ = \widehat {CDK} + \widehat {TDC} = \widehat {TDK}$ και άρα

$\widehat {KTD} = 180^\circ - 83^\circ - 14^\circ = 83^\circ$ . Δηλαδή τα τρίγωνα $ATK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KDT$ είναι ισοσκελή

της μορφής : $\left( {14^\circ ,83^\circ ,83^\circ } \right)$ και το τρίγωνο KTC

ισόπλευρο .

Έτσι η

είναι μεσοκάθετος στο

και η γωνία που ζητάμε:

$\boxed{\widehat {DAB} = 7^\circ + 14^\circ = 21^\circ }$

Ευθέως κι έτσι:

: τετράπλευρο 18_oritzin_Φάνης_new.png (42.37 KiB) Προβλήθηκε 2014 φορές

Ας είναι

το περίκεντρο του DBC

και

σημείο της προέκτασης της

προς το

με $\widehat {DKT} = 14^\circ$ .

Αβίαστα προκύπτουν: το $\vartriangle KDT$ είναι ισοσκελές τύπου , $\left( {14^\circ ,83^\circ ,83^\circ } \right)$ και το $\vartriangle KTC$ είναι ισόπλευρο.

Έτσι η

μεσοκάθετος στο

και η

μεσοκάθετος στο

, άρα $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 21^\circ }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Κυρ Σεπ 13, 2020 5:27 pm 65.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω τετράπλευρο , ζητείται το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Με

συμμετρικό του

ως προς

το τρίγωνο AED

είναι ισόπλευρο κι έστω

η τομή του ύψους

με την

Επειδή $\angle CAP= \angle DBC=37^0 \Rightarrow ABCP$ εγγράψιμο,άρα

$\angle APE=\angle BPA= \angle ACE=46^0 \Rightarrow A,B,C,P,E$ ομοκυκλικά

Έτσι, $\angle EAC+CPE=180^0 \Rightarrow 67^0+92^0+ \theta =180^0 \Rightarrow \theta =21^0$

: τετράπλευρο-18.png (51.97 KiB) Προβλήθηκε 1955 φορές

S.E.Louridas · #4

Επί της ουσίας το πρόβλημα αφορά κύρια τα δεδομένα για το τρίγωνο BDC

και τον υπολογισμό της γωνίας $\angle TDC,$ αν

είναι σημείο του περιεγραμμένου κύκλου (O)

στο τρίγωνο BDC

, με $\angle DBQ = {7^ \circ }$ και $T \equiv \left\{ {BQ} \right\} \cap \left\{ {LC} \right\}.$
Έτσι έχουμε $\angle DCQ = {7^ \circ } \Rightarrow \angle QOC = {60^ \circ } = \angle LOQ.$ Εδώ δημιουργείται ένας ρόμβος ο OLQC

αποτελούμενος από δύο ισόπλευρα τρίγωνα. Εδώ αναφέρουμε ότι $\angle OQB = \angle QBO = {14^ \circ }.$ Λόγω συμμετρίας στον ρόμβο προκύπτει $\angle TOQ = {14^ \circ },$ άρα $\left\{ T \right\} \in \left\{ {OD} \right\}.$ Επομένως τελικά από το ισοσκελές τρίγωνο OBD

παίρνουμε $\angle TDB = {21^ \circ } \Rightarrow \theta = {21^ \circ }.$

: ασ.png (45.1 KiB) Προβλήθηκε 1920 φορές

(*) Θα ήμουν πραγματικά πολύ ευτυχής αν μαθητές της Α' Λυκείου, εκτός εκείνων που είναι τροπαιούχοι στα διαγωνιστικά Μαθηματικά, έλυναν ένα τέτοιο πρόβλημα Γεωμετρίας.

Φανης Θεοφανιδης · #5

: 22.png (47.39 KiB) Προβλήθηκε 1892 φορές

cool geometry · #6

Κ

αλό θέμα!!!

cool geometry · #7

Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο BDC

είναι $\displaystyle\frac{BD}{DC}=\frac{\sin69^\circ}{\sin37^\circ}$ (1).

Με τον ίδιο νόμο στο τρίγωνο ADC

είναι $\displaystyle\frac{DC}{AD}=\frac{\sin7^\circ}{\sin23^\circ}$ (2).

Οι δύο προαναφερθείσες σχέσεις μας οδηγούν στην $\displaystyle\frac{BD}{AD}=\frac{\sin28^\circ}{\sin104^\circ}$ και με $\angle ADB=76^\circ,$ θα έχουμε $\angle \theta =21^\circ.$

Φανης Θεοφανιδης · #8

Το θέμα είναι καλό για την Γεωμετρία ή την Τριγωνομετρία;

cool geometry · #9

Για την γεωμετρία είναι υπέροχο, αλλά οι γεωμετρικες προσεγγισεις δόθηκαν, οπότε δεν είχα να προσθέσω κάτι.

Τετράπλευρο-18.

Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Re: Τετράπλευρο-18.

Μέλη σε σύνδεση