Ίσες γωνίες 63

KARKAR · #1

: Ίσες γωνίες 62.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 1549 φορές

Τα

είναι τα ύψη του τριγώνου ABC

και τα σημεία M, N

,

είναι τα μέσα των AD , BE

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $\widehat{FMN}=\widehat{BAC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 01, 2025 8:15 am Ίσες γωνίες 62.pngΤα είναι τα ύψη του τριγώνου και τα σημεία ,

είναι τα μέσα των αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $\widehat{FMN}=\widehat{BAC}$ .

Μια εκτός φακέλου .

Αρκεί να δείξω ότι η πράσινη γωνία είναι ίση με κόκκινη.

: Ίσες γωνίες_εκτός φακέλου.png (42.93 KiB) Προβλήθηκε 1518 φορές

Στρέφω το $\vartriangle FNM$ γύρω από το

κατά γωνία , $\widehat {MFA}$ . $M \to M'\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N \to N'$ οπότε : $\vartriangle MFN = \vartriangle M'FN'$ .

Τώρα , $\vartriangle ABC \approx \vartriangle DCE \approx \vartriangle AFE \approx \vartriangle M'FN' \approx \vartriangle MFN$ .

( Η πιο πάνω ισότητα τριγώνων είναι ικανή για να έχω και ομοιότητα ).

KARKAR · #3

: Ίσες γωνίες 63 λύση.png (30.44 KiB) Προβλήθηκε 1487 φορές

Τα τρίγωνα AFD , EFB

είναι ισογώνια λόγω των εγγραψίμων AFHE , BFHD

. Επειδή

οι FM , FN

είναι ( ομόλογες ) διάμεσοι , θα είναι ίσες και οι ροζ γωνίες , συνεπώς εγγράψιμο

είναι και το FMNH

. Οι γωνίες τώρα $\widehat{FMN} , \widehat{FAE}$ είναι παραπληρωματικές της $\widehat{FHN}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 01, 2025 8:15 am Ίσες γωνίες 62.pngΤα είναι τα ύψη του τριγώνου και τα σημεία ,

είναι τα μέσα των αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $\widehat{FMN}=\widehat{BAC}$ .

Με

μεσοκάθετη της

είναι

μέσον της

άρα $NK//AC \Rightarrow KN \bot BE$

Έτσι K,M,N,H,F

ομοκυκλικα,άρα $\angle FMN= \angle FKN= \angle BAC$

: Ίσες γωνίες 63.png (25.89 KiB) Προβλήθηκε 1424 φορές

#5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 3:03 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 01, 2025 8:15 am Ίσες γωνίες 62.pngΤα είναι τα ύψη του τριγώνου και τα σημεία ,

είναι τα μέσα των αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $\widehat{FMN}=\widehat{BAC}$ .
Με μεσοκάθετη της είναι μέσον της άρα $NK//AC \Rightarrow KN \bot BE$

Έτσι ομοκυκλικα,άρα $\angle FMN= \angle FKN= \angle BAC$

Ίσες γωνίες 63.png

Ίσες γωνίες 63

Ίσες γωνίες 63

Re: Ίσες γωνίες 63

Re: Ίσες γωνίες 63

Re: Ίσες γωνίες 63

Re: Ίσες γωνίες 63

Μέλη σε σύνδεση