Ευθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από το ίδιο σημείο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Χάρης Γ.Λ.
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 10:53 am
Τοποθεσία: Κατερίνη

Ευθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από το ίδιο σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χάρης Γ.Λ. » Παρ Απρ 22, 2011 10:12 am

Ένα δύσκολο θέμα που δόθηκε σε εξετάσεις Ιουνίου <<τα καλά χρόνια>> .

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από τυχαίο σημείο Δ της ΒΓ φέρνουμε ΔΕ //= ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Κ και ΔΖ//= ΑΓ που
τέμνει την ΑΒ στο Λ. Να αποδείξετε ότι :

α) τα σημεία Ζ , Α , Ε είναι συνευθειακά .

β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα .

γ) Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ , ΒΕ , ΛΚ , ΖΓ διέρχονται από το ίδιο σημείο ( ή συντρέχουν ).

Ας αφήσουμε τους μαθητές που είναι μέλη του :logo: να προσπαθήσουν πρώτα αυτοί .
Συνημμένα
Συντρεχουσες.png
Συντρεχουσες.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές


Χάρης Γ. Λάλας
___________________
\displaystyle{\sum\limits_n {{n^{ - s}}}  = \prod\limits_p {{{\left( {1 - {p^{ - s}}} \right)}^{ - 1}}} }

Λέξεις Κλειδιά:
Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Ευθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από το ίδιο σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Παρ Απρ 22, 2011 11:08 am

Λοιπόν ας κάνω μια προσπάθεια αν και είναι πρωί:

α) Έχουμε ΖΑΓΔ παρ/μο άρα ΖΑ//ΓΔ. Επίσης ΑΕΔΒ παρ/μο άρα ΑΕ//ΒΔ. Σύμφωνα με το ευκλείδιο αίτημα από το Α άγεται μοναδική παράλληλη προς το ΒΓ άρα αναγκαστικά τα Ζ,Α,Ε ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Έχουμε \widehat {DZA} = \widehat {AGD} , \widehat {ABD} = \widehat {AED}. Επίσης ΖΑ = ΔΓ και ΑΕ = ΒΔ άρα και ΖΕ = ΒΓ. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα από Γ-Π-Γ.

γ)Τα ΑΔ και ΓΖ συντρέχουν στο Ο (κέντρο του ΖΑΓΔ). Τα ΑΔ και ΒΕ τέμνονται στο Ι (κέντρο του ΑΕΔΒ). Άρα O \equiv I ,δηλαδή ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ συντρέχουν στο Ο. Με το ίδιο σκεπτικό αρκεί τώρα νδο ΑΚΔΛ παρ/μο ώστε από το Ο να διέρχεται και το ΚΛ. Τα τριγ. ΑΕΚ και ΔΒΛ είναι ίσα από Γ-Π-Γ: \widehat E = \widehat B , \widehat {LDB} = \widehat {EAK} (γωνίες με πλευρές παρ/λες) και ΒΔ = ΑΕ. Άρα προκύπτει ότι ΑΛ //= ΚΔ άρα ΑΚΔΛ παρ/μο.


stavros11
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 07, 2010 11:30 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Ευθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από το ίδιο σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavros11 » Παρ Απρ 22, 2011 11:21 am

Λίγο διαφορετικά στο (β), αφού δείξαμε ότι ΖΕ=ΒΓ, ξέρουμε από την υπόθεση ότι ΔΕ=ΑΒ και ΔΖ=ΑΓ, άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από Π-Π-Π.

Επίσης στο (γ) μπορούμε να δείξουμε ότι το ΑΚΔΛ είναι παραλληλόγραμμο, αφού ΔΖ//ΑΓ, δηλαδή ΛΔ//ΑΚ και ΑΒ//ΔΕ, ή ΑΛ//ΔΚ. Άρα είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες