Διχοτόμοι τριγώνου

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Διχοτόμοι τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τετ Ιαν 29, 2014 10:48 pm

Καλησπέρα στην παρέα, με μια άσκηση που χρειάζεται την έννοια και της ιδιότητες των εγγεγραμμένων τετράπλευρων που τα έχουμε παραμελήσει στα σχολεία.

Σε τρίγωνο AB\Gamma είναι γωνία B={{60}^{o}}. Οι διχοτόμοι AM και \Gamma N του τριγώνου τέμνονται στο σημείο \Delta.
Να αποδείξετε ότι \Delta M=\Delta N.
Συνημμένα
ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ.PNG
ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ.PNG (15.44 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11207
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διχοτόμοι τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 29, 2014 11:02 pm

Βλέπε εδώ . Φαίνεται πως το :logo: έχει πλέον μεγάλο ασκησιακό κεφάλαιο :lol:


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Διχοτόμοι τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τετ Ιαν 29, 2014 11:19 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Καλησπέρα στην παρέα, με μια άσκηση που χρειάζεται την έννοια και της ιδιότητες των εγγεγραμμένων τετράπλευρων που τα έχουμε παραμελήσει στα σχολεία.

Σε τρίγωνο AB\Gamma είναι γωνία B={{60}^{o}}. Οι διχοτόμοι AM και \Gamma N του τριγώνου τέμνονται στο σημείο \Delta.
Να αποδείξετε ότι \Delta M=\Delta N.
Άλλη μία...
\displaystyle {\widehat {\rm A}_1} + {\widehat \Gamma _1} = \frac{{\widehat {\rm A}}}{2} + \frac{{\widehat \Gamma }}{2} = 60^\circ (Σχήμα)

\displaystyle\widehat {{\rm M}\Delta {\rm N}} = \widehat {{\rm A}\Delta \Gamma }\mathop  = \limits^{\tau \rho \iota \gamma \;{\rm A}\Delta \Gamma }  = 180^\circ  - {\widehat {\rm A}_1} - {\widehat \Gamma _1} = 120^\circ

Άρα \widehat {\rm B} + \widehat {{\rm M}\Delta {\rm N}} = 180^\circ δηλαδή το τετράπλευρο {\rm N}{\rm B}{\rm M}\Delta είναι εγγράψιμο.

Το \Delta είναι το έγκεντρο του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma οπότε η {\rm B}\Delta είναι διχοτόμος της \widehat {\rm B}.

Από το {\rm N}{\rm B}{\rm M}\Delta είναι: \widehat {{\rm N}{\rm M}\Delta } = \widehat {{\rm N}{\rm B}\Delta } = 30^\circ και \widehat {{\rm M}{\rm N}\Delta } = \widehat {{\rm M}{\rm B}\Delta } = 30^\circ οπότε

\widehat {{\rm N}{\rm M}\Delta } = \widehat {{\rm M}{\rm N}\Delta } = 30^\circ δηλαδή το τρίγωνο {\rm M}\Delta {\rm N}είναι ισοσκελές οπότε \Delta {\rm M} = \Delta {\rm N}
Συνημμένα
Διχοτόμοι.png
Διχοτόμοι.png (22.13 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8792
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτόμοι τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 29, 2014 11:27 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Καλησπέρα στην παρέα, με μια άσκηση που χρειάζεται την έννοια και της ιδιότητες των εγγεγραμμένων τετράπλευρων που τα έχουμε παραμελήσει στα σχολεία.

Σε τρίγωνο AB\Gamma είναι γωνία B={{60}^{o}}. Οι διχοτόμοι AM και \Gamma N του τριγώνου τέμνονται στο σημείο \Delta.
Να αποδείξετε ότι \Delta M=\Delta N.
Καλησπέρα.
Διχοτόμοι τριγώνου.png
Διχοτόμοι τριγώνου.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές
Επειδή \displaystyle{{\rm A}{\rm M},\Gamma {\rm N}} είναι διχοτόμοι, \displaystyle{{\rm N}\widehat \Delta {\rm M} = {90^0} + \frac{{\widehat {\rm B}}}{2} = {120^0}}. Άρα το τετράπλευρο \displaystyle{{\rm B}{\rm M}\Delta {\rm N}} είναι εγγράψιμο.

Αν \displaystyle{{\rm A}\Delta } η τρίτη διχοτόμος, τότε και λόγω του εγγράψιμου θα είναι:
\displaystyle{{\rm M}\widehat {\rm B}\Delta  = \Delta \widehat {\rm B}{\rm N} = {\rm M}\widehat {\rm N}\Delta  = {\rm N}\widehat {\rm M}\Delta  = {30^0}}.

Επομένως, \displaystyle{\Delta {\rm M} = \Delta {\rm N}}.

Με πρόλαβε ο Ηλίας, αλλά την αφήνω για τον κόπο.


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Διχοτόμοι τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Πέμ Ιαν 30, 2014 12:21 pm

Με βάση τις ωραιότατες λύσεις σας θα μπορούσε μια και το σχήμα της είναι απλό η παραπάνω άσκηση να μετασχηματιστεί σε άσκηση τράπεζας θεμάτων με υποερωτήματα που θα βοηθούν για την λύση του τελικού ερωτήματος και με πρώτο ερώτημα αρκετά εύκολο για όλα τα παιδιά της τάξης. Για παράδειγμα:

Οξυγώνιο τρίγωνο AB\Gamma έχει γωνία B={{60}^{o}} και οι διχοτόμοι AM και \Gamma N του τριγώνου τέμνονται στο σημείο \Delta, τότε:

Β1. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας A\Delta \Gamma (μονάδες 9)

Β2. Να αποδείξετε ότι τετράπλευρο BN\Delta M είναι εγγράψιμο. (μονάδες 6)

Β3. Να αποδείξετε ότι \Delta M=\Gamma N. (μονάδες 10)


Καρδαμίτσης Σπύρος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης