Ότι πρέπει 2

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ότι πρέπει 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Νοέμ 18, 2016 6:52 pm

Ότι πρέπει 2 (2).png
Ότι πρέπει 2 (2).png (5.92 KiB) Προβλήθηκε 1669 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC με \angle A>90^{0} και η διάμεσός του CD.
Αν \angle ACD=30^{0}, \angle ABC=2\chi και \angle BCD=\chi ,να δείξετε ότι \chi =15^{0}.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12329
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ότι πρέπει 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 19, 2016 11:03 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ότι πρέπει 2 (2).png
Δίνεται τρίγωνο ABC με \angle A>90^{0} και η διάμεσός του CD.
Αν \angle ACD=30^{0}, \angle ABC=2\chi και \angle BCD=\chi ,να δείξετε ότι \chi =15^{0}.
Για να κλείνει.

Από τον Νόμο των Hμιτόνων στα BCD, ADC έχουμε

\displaystyle{ \frac {\sin 2x}{\sin x} = \frac {CD}{BD}= \frac {CD}{AD} = \frac {\sin (3x+30)}{\sin 30}}

Άρα \displaystyle{ \frac {2\sin x \cos x}{\sin x} = 2\sin (3x+30)}} ή αλλιώς \displaystyle{\cos x = \sin (3x+30)}.

Συνεπώς \displaystyle{\sin (90-x) = \sin (3x+30)}, οπότε \displaystyle{3x+30= 180k \pm (90 -x)}. Λύνοντας, είναι δεκτή μόνο η περίπτωση k=0 και x=15.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ότι πρέπει 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 19, 2016 6:27 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ότι πρέπει 2 (2).png
Δίνεται τρίγωνο ABC με \angle A>90^{0} και η διάμεσός του CD.
Αν \angle ACD=30^{0}, \angle ABC=2\chi και \angle BCD=\chi ,να δείξετε ότι \chi =15^{0}.
Καλησπέρα στο Φάνη , καλησπέρα στον σεβαστό καθηγητή κ. Λάμπρου. Καλησπέρα σε όλους .

Αρκεί να δειχθεί ότι ο κύκλος (A,D,B) έχει το κέντρο του στην BC.

Έστω ότι ο κύκλος (A,D,B) έχει το κέντρο O έτσι ώστε τα A,O εκατέρωθεν του BC.

Ας είναι ακόμα T το άλλο σημείο τομής του με την BC.

Προφανές ότι το μεν τρίγωνο \vartriangle OAD ισόπλευρο το δε τρίγωνο \vartriangle OAB ορθογώνιο στο O.

Τα τρίγωνα \vartriangle DTO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DTB θα έχουν : DT κοινή , DO = DB και \widehat {DBT} = \widehat {DOT} = 2x.

Συνεπώς είτε θα είναι ίσα , είτε τα σημεία B,T,O θα είναι στην ίδια ευθεία ( αντιβαίνει στην υπόθεσή μας)
Οτι   πρέπει_2_3.png
Οτι πρέπει_2_3.png (34.76 KiB) Προβλήθηκε 1562 φορές
Αν τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα τότε BT = TO \Rightarrow BT = BD, μα τότε

30^\circ  + x = \widehat {BDT} = \widehat {BTD} \Rightarrow 2x + 2(30^\circ  + x) = 180^\circ και άρα 2x = 30^\circ  + x = 60^\circ.

Δηλαδή το τρίγωνο \vartriangle ABC ισόπλευρο και αμβλυγώνιο !!


Αν κάποιος συλλογισμός μου είναι λάθος και τελικά δεν ισχύουν τα παραπάνω , κανένα πρόβλημα , Όλοι από τα λάθη μας μαθαίνουμε

εν γένει στη ζωή .

Φιλικά Νίκος


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1163
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ότι πρέπει 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Νοέμ 20, 2016 11:07 am

Ότι πρέπει 2..png
Ότι πρέπει 2..png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές
Καλημέρα.

Γράφω τον περίκυκλο του \triangle ABC και καλώ O το κέντρο του.
Έστω ότι η προέκταση της CD τέμνει τον κύκλο στο E και η μεσοκάθετος
της BC τέμνει την CD στο Z. Φέρνω τα ευθύγραμμα τμήματα OB, OC, OA,
OE, BZ, EB, EA και ονομάζω τις γωνίες \angle OBC, \angle BCO με \phi .
Το Z είναι σημείο της μεσοκαθέτου της BC\Rightarrow BZ=ZC\Rightarrow
\Rightarrow \angle CBZ=\angle ZCB\Rightarrow \angle CBZ=\chi .
Οπότε και \angle ZBD=\chi (αφού \angle ABC=2\chi ).
Ισχύουν τα εξής: \angle AOE=60^{0} (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)\Rightarrow
\Rightarrow \triangle AOE ισόπλευρο (1),
\angle DZB=2\chi (ως εξωτερική του \triangle BZC),
\angle CEA=2\chi (βαίνει στο τόξο AC),
\angle EAB=\chi (βαίνει στο τόξο BE) και
\angle OEC=\chi +\phi (διότι το \triangle COE είναι ισοσκελές).
Είναι \triangle BDZ=\triangle ADE (αφού έχουν όλες τις γωνίες τους
ίσες και BD=DA)\Rightarrow BZ=EA\Rightarrow BZ=EO (λόγω τις (1))\Rightarrow
\Rightarrow BZ=BO (ως ακτίνες του κύκλου)\Rightarrow \triangle OBZ ισοσκελές\Rightarrow
\Rightarrow BM διχοτόμος της \angle OBZ (διότι το BM είναι ύψος
του \triangle OBZ)\Rightarrow \chi =\phi (2).
Όμως 2\chi +\chi +\phi =\angle OEA\Rightarrow
\Rightarrow 3\chi +\phi =60^{0} (λόγω της (1))\Rightarrow
\Rightarrow 4\chi =60^{0} (λόγω της (2))\Rightarrow \chi =15^{0}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ότι πρέπει 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 20, 2016 12:43 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ότι πρέπει 2..png
Καλημέρα.

Γράφω τον περίκυκλο του \triangle ABC και καλώ O το κέντρο του.
Έστω ότι η προέκταση της CD τέμνει τον κύκλο στο E και η μεσοκάθετος
της BC τέμνει την CD στο Z. Φέρνω τα ευθύγραμμα τμήματα OB, OC, OA,
OE, BZ, EB, EA και ονομάζω τις γωνίες \angle OBC, \angle BCO με \phi .
Το Z είναι σημείο της μεσοκαθέτου της BC\Rightarrow BZ=ZC\Rightarrow
\Rightarrow \angle CBZ=\angle ZCB\Rightarrow \angle CBZ=\chi .
Οπότε και \angle ZBD=\chi (αφού \angle ABC=2\chi ).
Ισχύουν τα εξής: \angle AOE=60^{0} (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)\Rightarrow
\Rightarrow \triangle AOE ισόπλευρο (1),
\angle DZB=2\chi (ως εξωτερική του \triangle BZC),
\angle CEA=2\chi (βαίνει στο τόξο AC),
\angle EAB=\chi (βαίνει στο τόξο BE) και
\angle OEC=\chi +\phi (διότι το \triangle COE είναι ισοσκελές).
Είναι \triangle BDZ=\triangle ADE (αφού έχουν όλες τις γωνίες τους
ίσες και BD=DA)\Rightarrow BZ=EA\Rightarrow BZ=EO (λόγω τις (1))\Rightarrow
\Rightarrow BZ=BO (ως ακτίνες του κύκλου)\Rightarrow \triangle OBZ ισοσκελές\Rightarrow
\Rightarrow BM διχοτόμος της \angle OBZ (διότι το BM είναι ύψος
του \triangle OBZ)\Rightarrow \chi =\phi (2).
Όμως 2\chi +\chi +\phi =\angle OEA\Rightarrow
\Rightarrow 3\chi +\phi =60^{0} (λόγω της (1))\Rightarrow
\Rightarrow 4\chi =60^{0} (λόγω της (2))\Rightarrow \chi =15^{0}.

Άψογη λύση :coolspeak: με κυριότερη "κίνηση κλειδί" την επιλογή του σημείου Z

ως σημείου τομής της μεσοκαθέτου στο BC με την EC.

Φιλικά,

Νίκος


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1837
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ότι πρέπει 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 21, 2016 2:22 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ότι πρέπει 2 (2).png
Δίνεται τρίγωνο ABC με \angle A>90^{0} και η διάμεσός του CD.
Αν \angle ACD=30^{0}, \angle ABC=2\chi και \angle BCD=\chi ,να δείξετε ότι \chi =15^{0}.

Με \displaystyle{Z} συμμετρικό του \displaystyle{D} ως προς \displaystyle{AC}\displaystyle{ \Rightarrow \vartriangle ZDC} ισόπλευρο με \displaystyle{CA} μεσοκάθετη της \displaystyle{DZ \Rightarrow \boxed{AD = AZ}}

Έστω \displaystyle{AE \bot BC}.Τότε \displaystyle{\angle DEB = 2x \Rightarrow \angle EDC = x \Rightarrow \boxed{DE = EC}}

Τελικά, \displaystyle{DE = EC = DA = AZ} και \displaystyle{ZD = DC \Rightarrow \vartriangle DZA = \vartriangle DEC \Rightarrow \angle ADZ = x}.Έτσι \displaystyle{\angle CDZ = 4x = {60^0} \Rightarrow \boxed{x = {{15}^0}}}
15.png
15.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 1440 φορές


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ότι πρέπει 2

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Νοέμ 21, 2016 2:41 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Ότι πρέπει 2 (2).png
Δίνεται τρίγωνο ABC με \angle A>90^{0} και η διάμεσός του CD.
Αν \angle ACD=30^{0}, \angle ABC=2\chi και \angle BCD=\chi ,να δείξετε ότι \chi =15^{0}.

Με \displaystyle{Z} συμμετρικό του \displaystyle{D} ως προς \displaystyle{AC}\displaystyle{ \Rightarrow \vartriangle ZDC} ισόπλευρο με \displaystyle{CA} μεσοκάθετη της \displaystyle{DZ \Rightarrow \boxed{AD = AZ}}

Έστω \displaystyle{AE \bot BC}.Τότε \displaystyle{\angle DEB = 2x \Rightarrow \angle EDC = x \Rightarrow \boxed{DE = EC}}

Τελικά, \displaystyle{DE = EC = DA = AZ} και \displaystyle{ZD = DC \Rightarrow \vartriangle DZA = \vartriangle DEC \Rightarrow \angle ADZ = x}.Έτσι \displaystyle{\angle CDZ = 4x = {60^0} \Rightarrow \boxed{x = {{15}^0}}}
15.png
:notworthy: Απίθανη λύση...


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης