Ανάποδα ημικύκλια

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ανάποδα ημικύκλια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 22, 2017 10:38 pm

Ανάποδα ημικύκλια.png
Ανάποδα ημικύκλια.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές
Έστω τα συνευθειακά σημεία A,B,C ( με αυτή τη σειρά) . Εκατέρωθεν της ευθείας

\overline {ABC} θεωρούμε τα ημικύκλια διαμέτρων AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC. Κύκλος με κέντρο το μέσο

K του AC υποθέτουμε ότι τέμνει το ένα ημικύκλιο στο E και το άλλο στο Z.

Δείξετε ότι τα σημεία E,B,Z ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Νίκος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ανάποδα ημικύκλια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιαν 23, 2017 8:21 pm

Θα το αντιμετωπίσουμε λίγο ανάποδα. Συγκεκριμένα, θα θεωρήσουμε πως τα E, B, Z είναι συνευθειακά και θα αποδείξουμε πως το Z βρίσκεται πάνω στο ημικύκλιο με διάμετρο BC.
Αρκεί λοιπόν \widehat{BZC}=90^o ή ότι AE//ZC.

Έστω M και N τα σημεία τομής του κύκλου με την AC. Φέρνουμε την AE, την ME, την KE και την NE.
Προφανώς θα είναι \widehat{AEB}=\widehat{MEN}=90^o, συνεπώς \widehat{AEM}=\widehat{BEN} (1).

Ακόμα φέρνουμε κύκλο με ακτίνα AE και κέντρο το C που τέμνει τον κύκλο με κέντρο το K στο F (το F είναι στο ίδιο ημικύκλιο με το E). H FC τέμνει τον κύκλο και στο σημείο L.

Τα τρίγωνα AEK και KFC είναι ίσα, καθώς:

KE=KF
KA=KC
AE=CF

Συνεπώς έχουμε ότι \widehat{KAE}=\widehat{KCF} (2).

Τα τρίγωνα τώρα AEM και NFC είναι ίσα, καθώς:

AM=NC
AE=FC
\widehat{KAE}=\widehat{KCF}

Άρα συνδυάζοντας και την σχέση (1), έχουμε ότι:

\widehat{ZEN}=\widehat{BEN}=\widehat{AEM}=\widehat{CFN}=\widehat{LFN}.

Όμως οι γωνίες \widehat{ZEN} και \widehat{LFN} είναι εγγράψιμες στον ίδιο κύκλο και αφού είναι και ίσες ισχύει ότι τα τόξα ZN και LN είναι ίσα, επομένως το Z είναι το συμμετρικό του L ως προς στην MN.

Συνεπώς έχουμε ότι \widehat{KCF}=\widehat{KCZ}.

Από την παραπάνω σχέση και την σχέση (2) έχουμε ότι \widehat{KCZ}=\widehat{KAE} που αποδεικνύει ότι AE//ZC.
Συνημμένα
Ανάποδα ημικύκλια.png
Ανάποδα ημικύκλια.png (29.73 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ανάποδα ημικύκλια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 23, 2017 9:34 pm

Ανάποδα ημικύκλια.png
Ανάποδα ημικύκλια.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές
Από το E φέρω την ευθεία που διέρχεται από το B και ονομάζω Z το σημείο

στο οποίο τέμνει το άλλο ημικύκλιο . Η κάθετη από το K προς την EZ , είναι

η μεσοκάθετή της , συνεπώς ο κύκλος (K,KE) διέρχεται και από το Z .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανάποδα ημικύκλια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 23, 2017 9:47 pm

KARKAR έγραψε:Ανάποδα ημικύκλια.pngΑπό το E φέρω την ευθεία που διέρχεται από το B και ονομάζω Z το σημείο

στο οποίο τέμνει το άλλο ημικύκλιο . Η κάθετη από το K προς την EZ , είναι

η μεσοκάθετή της , συνεπώς ο κύκλος (K,KE) διέρχεται και από το Z .

Με αυτό το σκεπτικό φτιάχτηκε ή άσκηση λαμβάνοντας υπ όψιν και το θέμα σου " ίσα τμήματα 3".


Φιλικά , Νίκος


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 804
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ανάποδα ημικύκλια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιαν 23, 2017 9:49 pm

Υπήρχε τόσο απλή λύση :shock: !; :wallbash: :wallbash:


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης