Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα..png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta BE$ είναι ισόπλευρα. Αν η προέκταση της $E\Gamma$
τέμνει την $A\Delta$ στο σημείο

, να υπολογίσετε την γωνία $\angle EPA$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta BE$ είναι ισόπλευρα. Αν η προέκταση της $E\Gamma$
τέμνει την $A\Delta$ στο σημείο , να υπολογίσετε την γωνία $\angle EPA$ .

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα 1.PNG (30.63 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές

Το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{ADE}$ προέκυψε από το το ισόπλευρο $\displaystyle{ABC}$
από μια στροφή με κέντρο το σημείο $\displaystyle{B}$ και με γωνία $\displaystyle{\hat{n}}$
καθώς και από μια ομοιοθεσία με κέντρο πάλι το σημείο $\displaystyle{B}$ και
με λόγο ίσο με
$\displaystyle{l=\frac{BD}{BA} \ \ (1)}$ .
Από τα ανωτέρω προκύπτει αμέσως ότι:
$\displaystyle{\hat{n}=\hat{m} \ \ (2) }$
και
$\displaystyle{\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC} \ \ (3)}$

Από τις (2) και (3) προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{BAD}$ και $\displaystyle{BCE}$ είναι όμοια.
Άρα:
$\displaystyle{\hat{q}=\hat{t} \ (4)}$
Επομένως το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCP}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς:
$\displaystyle{\hat{w}=180^o-\hat{ABC}=180^o-60^o=120^o}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:
Παραθέτω ένα δυναμικό σχήμα όπου φαίνονται και οι διάφορες άλλες περιπτώσεις
καθώς μεταβάλλεται η γωνία στροφής και ο λόγος της ομοιθεσίας. Σε κάποιες περιπτώσεις
η γωνία αυτή γίνεται και εξήντα μοίρες.

Δύο ισόπλευρα τρίγωνα 1.ggb: (14.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 33 φορές

Al.Koutsouridis · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δύο ισόπλευρα τρίγωνα..png

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta BE$ είναι ισόπλευρα. Αν η προέκταση της $E\Gamma$
τέμνει την $A\Delta$ στο σημείο , να υπολογίσετε την γωνία $\angle EPA$ .

Καλησπέρα,

Έστω

το σημείο τομής των BC, DE

τότε το τετράπλευρο ABDQ

είναι εγγράψιμο αφού $\angle ABQ = \angle ADQ = 60^{0}$ . Έστω ότι περιγγεγραμμένος κύκλος του τέμνει την

στο σημείο

. Επειδή $\angle ACB = \angle AEQ$ το τετράπλευρο AEQC

θα είναι και αυτό εγγράψιμο.

Έχουμε τις παρακάτω ισότητες γωνιών

$\angle ASB = \angle AQB = \angle AQC = \angle AEC$

επομένως BS || EP

. Άρα θα έχουμε $\angle EPD = \angle CPD = \angle SBD = \angle SAD = 60^{0}$ . Από όπου τελικά βρίσκουμε $\angle EPA = 180^0 - \angle EPD = 120^0$

#4

Μια ισότητα τριγώνων και ένα εγγράψιμο μετά , το APDE

.

: Δύο ίσα ισόπλευρα.png (23.6 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Φιλικά , Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δύο ισόπλευρα τρίγωνα..png

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta BE$ είναι ισόπλευρα. Αν η προέκταση της $E\Gamma$
τέμνει την $A\Delta$ στο σημείο , να υπολογίσετε την γωνία $\angle EPA$ .

$\displaystyle{x = y,AB = BC,BE = BD \Rightarrow \vartriangle BAD = \vartriangle BCE \Rightarrow \angle E = \angle D \Rightarrow BPDE}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle DPE = {60^0} \Rightarrow \boxed{\angle EPA = {{120}^0}}}$

: 2IS.png (23.41 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Βλέπω τώρα ότι έχω ίδια λύση με τον Νίκο.Την αφήνω...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δύο ισόπλευρα τρίγωνα..png

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta BE$ είναι ισόπλευρα. Αν η προέκταση της $E\Gamma$
τέμνει την $A\Delta$ στο σημείο , να υπολογίσετε την γωνία $\angle EPA$ .

Αλλιώς $\displaystyle{BADZ,BCZE}$ εγγράψιμα άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες $\displaystyle{ \Rightarrow BPDE}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle DPE = {60^0} \Rightarrow \boxed{\angle EPA = {{120}^0}}}$

: 2IS..png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές

Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Re: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Re: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Re: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Re: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Re: Δύο ισόπλευρα τρίγωνα-1.

Μέλη σε σύνδεση